Questão 2. (2.5 pts.) Um dado é formado por chapas de plástico de
. Em média aparecem 150 defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
(a) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos?
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas?
Justifique sua resposta!
(a) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos?
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece:
- Cada face do dado é um quadrado de
. - A taxa média de defeitos é de
defeitos por metro quadrado, e o número de defeitos segue uma distribuição de Poisson. - O dado tem
faces (é um cubo).
As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos?
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos faces sejam perfeitas (ou seja, tenham zero defeitos)?
(a) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos?
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos
Passo 2
Transformar unidades e calcular áreas (informação necessária para a taxa de Poisson).
Uma face tem dimensões
, logo a área de uma face é
O dado tem
faces, então a área total do dado é
Passo 3
Relembrando a distribuição de Poisson (aula rapidinha e necessária).
- A distribuição de Poisson com parâmetro
dá a probabilidade de observar eventos (aqui, defeitos) num certo intervalo de área:
- Importante: se uma taxa é dada por defeitos por unidade de área (aqui por
), então o parâmetro para uma área é
- Outra propriedade útil: para um processo de Poisson, contagens em áreas disjuntas são independentes e a soma das contagens é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros.
Passo 4
Calcular os parâmetros
relevantes.
Taxa por metro quadrado é
. Então:
- Para uma face:
Logo o número de defeitos numa face tem distribuição
.
- Para o dado inteiro (área total
):
Logo o número total de defeitos no dado tem distribuição
.
Explicação intuitiva: cada face é uma área disjunta, cada uma Poisson(1,5) independente; somando 6 delas obtemos Poisson(
).
Passo 5
Resolver (a): probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos.
Se
é o número total de defeitos no dado, então
Usando a fórmula de Poisson:
Portanto
Agora o valor numérico:
. Multiplicando:
logo
Passo 6
Resolver (b): probabilidade de que pelo menos
faces sejam perfeitas.
Definição: uma face é “perfeita” se tiver zero defeitos. Para uma face,
Denote
. Pelo cálculo de potências de
,
Como as faces são disjuntas (e, no modelo de Poisson, independentes), o número de faces perfeitas
entre as
é binomial:
Queremos
Passo 7
Calcular numericamente
mostrando os termos.
Usando
, observe que
,
,
. Seja
.
Os termos são:
Cálculos numéricos (valores aproximados):
Agora os termos:
Somando:
(aproximadamente).]
Passo 8
Resumo final (valores redondos com justificativa dada nos passos anteriores).
- (a) Usei o modelo Poisson para a área total do dado (
) e calculei . - (b) Usei que cada face tem Poisson(
), então a probabilidade de uma face ser perfeita é e o número de faces perfeitas é Binomial . Calculei a probabilidade de somando os termos correspondentes.
Resposta
(a)
(b)
(b)