Questão 2. (2.5 pts.) Um dado é formado por chapas de plástico de 10 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm}. Em média aparecem 150 defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
(a) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos?
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas?
Justifique sua resposta!

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece:
  • Cada face do dado é um quadrado de 10\\ \mathrm{cm}\times10\\ \mathrm{cm}.
  • A taxa média de defeitos é de 150 defeitos por metro quadrado, e o número de defeitos segue uma distribuição de Poisson.
  • O dado tem 6 faces (é um cubo).
As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos?
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas (ou seja, tenham zero defeitos)?

Passo 2

Transformar unidades e calcular áreas (informação necessária para a taxa de Poisson).
Uma face tem dimensões 10\\ \mathrm{cm}=0,1\\ \mathrm{m}, logo a área de uma face é
\text{área\_face} = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01\\ \mathrm{m}^2.á
O dado tem 6 faces, então a área total do dado é
\text{área\_total} = 6 \cdot 0,01 = 0,06\\ \mathrm{m}^2.á

Passo 3

Relembrando a distribuição de Poisson (aula rapidinha e necessária).
  • A distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0 dá a probabilidade de observar k eventos (aqui, defeitos) num certo intervalo de área:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
  • Importante: se uma taxa é dada por defeitos por unidade de área (aqui por 1\\ \mathrm{m}^2), então o parâmetro \lambda para uma área A é
\lambda = (\text{taxa por m}^2)\times A.
  • Outra propriedade útil: para um processo de Poisson, contagens em áreas disjuntas são independentes e a soma das contagens é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros.

Passo 4

Calcular os parâmetros \lambda relevantes.
Taxa por metro quadrado é 150. Então:
  • Para uma face:
\lambda_{\text{face}} = 150 \times 0,01 = 1,5.
Logo o número de defeitos numa face tem distribuição \text{Poisson}(\lambda=1{,}5).
  • Para o dado inteiro (área total 0,06\\ \mathrm{m}^2):
\lambda_{\text{total}} = 150 \times 0,06 = 9.
Logo o número total de defeitos no dado tem distribuição \text{Poisson}(\lambda=9).
Explicação intuitiva: cada face é uma área disjunta, cada uma Poisson(1,5) independente; somando 6 delas obtemos Poisson( 6\times1{,}5=9).

Passo 5

Resolver (a): probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos.
Se X\sim\text{Poisson}(9) é o número total de defeitos no dado, então
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big].
Usando a fórmula de Poisson:
P(X=k)=e^{-9}\frac{9^k}{k!}.
Portanto
P(X\ge3)=1-e^{-9}\left(\frac{9^0}{0!}+\frac{9^1}{1!}+\frac{9^2}{2!}\right) =1-e^{-9}\left(1+9+\frac{81}{2}\right) =1-e^{-9}\left(50{,}5\right).
Agora o valor numérico: e^{-9}\approx 0{,}00012340980408667956. Multiplicando:
e^{-9}\cdot 50{,}5 \approx 0{,}006232195106377318,
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P(X\ge3)\approx 1-0{,}006232195106377318 \approx 0{,}9937678048936227.

Passo 6

Resolver (b): probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas.
Definição: uma face é “perfeita” se tiver zero defeitos. Para uma face,
P(\text{face perfeita}) = P(\text{Poisson}(1{,}5)=0)=e^{-1{,}5}.
Denote p=e^{-1{,}5}. Pelo cálculo de potências de e,
p=e^{-1{,}5}\approx 0{,}22313016014842982.
Como as faces são disjuntas (e, no modelo de Poisson, independentes), o número de faces perfeitas Y entre as 6 é binomial:
Y\sim\text{Binomial}\big(n=6,\;p=e^{-1{,}5}\big).
Queremos
P(Y\ge4)=\sum_{k=4}^{6}\binom{6}{k} p^{k}(1-p)^{6-k}.

Passo 7

Calcular numericamente P(Y\ge4) mostrando os termos.
Usando p=e^{-1{,}5}, observe que p^{4}=e^{-6}, p^{5}=e^{-7{,}5}, p^{6}=e^{-9}. Seja q=1-p.
Os termos são:
\begin{aligned} P(Y=4)&=\binom{6}{4}p^{4}q^{2}=15\cdot e^{-6}\cdot q^{2},\\[4pt] P(Y=5)&=\binom{6}{5}p^{5}q=6\cdot e^{-7{,}5}\cdot q,\\[4pt] P(Y=6)&=\binom{6}{6}p^{6}=e^{-9}. \end{aligned}
Cálculos numéricos (valores aproximados):
e^{-6}\approx 0{,}0024787521766663585,\quad e^{-7{,}5}\approx 0{,}0005530843701478337,\quad e^{-9}\approx 0{,}00012340980408667956,
p=e^{-1{,}5}\approx 0{,}22313016014842982,\quad q=1-p\approx 0{,}7768698398515702,\quad q^{2}\approx 0{,}603526748071004.
Agora os termos:
P(Y=4)\approx 15\cdot 0{,}0024787521766663585\cdot 0{,}603526748071004 \approx 0{,}022439895000823376,
P(Y=5)\approx 6\cdot 0{,}0005530843701478337\cdot 0{,}7768698398515702 \approx 0{,}0025783979098683275,
P(Y=6)\approx 0{,}00012340980408667956.
Somando:
P(Y\ge4)\approx 0{,}022439895000823376 + 0{,}0025783979098683275 + 0{,}00012340980408667956 \approx 0{,}025141702713
(aproximadamente).]

Passo 8

Resumo final (valores redondos com justificativa dada nos passos anteriores).
  • (a) Usei o modelo Poisson para a área total do dado ( \lambda=9) e calculei P(X\ge3)=1-\sum_{k=0}^2 e^{-9}9^k/k!.
  • (b) Usei que cada face tem Poisson( 1{,}5), então a probabilidade de uma face ser perfeita é e^{-1{,}5} e o número de faces perfeitas é Binomial (6,e^{-1{,}5}). Calculei a probabilidade de Y\ge4 somando os termos correspondentes.

Resposta

(a) P(X\ge3)=1-e^{-9}\left(1+9+\dfrac{9^2}{2}\right)\approx 0{,}9937678049.
(b) P(Y\ge4)=\displaystyle\sum_{k=4}^{6}\binom{6}{k}e^{-1{,}5k}\bigl(1-e^{-1{,}5}\bigr)^{6-k}\approx 0{,}0251417027.

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