Exercício 04: Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que P(A)=0,3 ; P(B)=0,7 e P(A \cap B) =0,21. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
A e Ac são independentes. justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (apenas identificar as informações e a pergunta).
  • Dados:
    • P(A)=0,3.
    • P(B)=0,7.
    • P(A\cap B)=0,21.
  • Pergunta a verificar:
    • A e A^{c} são independentes? Justificar a resposta.

Passo 2

Definição de independência entre dois eventos (aumentando a confiança no que vamos usar).
  • Dois eventos X e Y são independentes se, e somente se,
P(X\cap Y)=P(X)\,P(Y).
  • Isso significa que a probabilidade de ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais; se não vale essa igualdade, os eventos são dependentes.

Passo 3

Calcular a probabilidade do evento complementar A^{c}.
  • Por definição de complementar,
P(A^{c})=1-P(A).
  • Como P(A)=0,3, temos
P(A^{c})=1-0,3=0,7.

Passo 4

Calcular P(A\cap A^{c}).
  • Os conjuntos A e A^{c} são disjuntos: A\cap A^{c}=\varnothing.
  • A probabilidade do conjunto vazio é zero, portanto
P(A\cap A^{c})=0.

Passo 5

Calcular o produto P(A)\,P(A^{c}) e comparar com P(A\cap A^{c}).
  • O produto é
P(A)\,P(A^{c})=0,3\cdot0,7.
  • Fazendo a conta (como fração: \dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{7}{10}=\dfrac{21}{100}):
P(A)\,P(A^{c})=0,21.
  • Comparando: P(A\cap A^{c})=0 e P(A)\,P(A^{c})=0,21. Como 0\neq0,21, a condição de independência falha.

Passo 6

Conclusão geral e observação útil (fórmula que costuma cair em prova).
  • Portanto, A e A^{c} não são independentes no caso dado.
  • Observação geral: para qualquer evento A, exigir P(A\cap A^{c})=P(A)P(A^{c}) leva a
0=P(A)(1-P(A)),
que só acontece se P(A)=0 ou P(A)=1. Ou seja, um evento só é independente do seu complementar nos casos triviais P(A)=0 ou P(A)=1. Aqui P(A)=0,3 não é nenhum desses casos.

Resposta

Não. A e A^{c} não são independentes.

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