Exercício 04: Sejam
e
eventos de um espaço amostral. Sabe-se que
e
. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
A e Ac são independentes. justifique sua resposta.
A e Ac são independentes. justifique sua resposta.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (apenas identificar as informações e a pergunta).
- Dados:
-
. -
. -
.
-
- Pergunta a verificar:
-
e são independentes? Justificar a resposta.
-
Passo 2
Definição de independência entre dois eventos (aumentando a confiança no que vamos usar).
- Dois eventos
e são independentes se, e somente se,
- Isso significa que a probabilidade de ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais; se não vale essa igualdade, os eventos são dependentes.
Passo 3
Calcular a probabilidade do evento complementar
.
- Por definição de complementar,
- Como
, temos
Passo 4
Calcular
.
- Os conjuntos
e são disjuntos: . - A probabilidade do conjunto vazio é zero, portanto
Passo 5
Calcular o produto
e comparar com
.
- O produto é
- Fazendo a conta (como fração:
):
- Comparando:
e . Como , a condição de independência falha.
Passo 6
Conclusão geral e observação útil (fórmula que costuma cair em prova).
- Portanto,
e não são independentes no caso dado. - Observação geral: para qualquer evento
, exigir leva a
que só acontece se
ou
. Ou seja, um evento só é independente do seu complementar nos casos triviais
ou
. Aqui
não é nenhum desses casos.
Resposta
Não.
e
não são independentes.