EXERCÍCIO 05 - Boost em CCM com potência elevada (básico/intermediário)
Um conversor Boost opera com frequência de chaveamento \mathrm{f}=1 \mathrm{kHz}.
A fonte de tensão CC de entrada é Vi =100 \mathrm{~V} e a resistência de carga é \mathrm{R}=2 \Omega.
O valor médio da corrente na carga é lo =100 \mathrm{~A}.
Considere CCM. Determine:
a) A potência dissipada na carga.
b) O ciclo de trabalho D.
c) O valor médio da corrente fornecida pela fonte de entrada.
d) Discuta se os valores obtidos são fisicamente razoáveis para um projeto real (ordem de grandeza de potência, corrente, etc.).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Frequência de chaveamento: f=1\\ \mathrm{kHz}.
    • Tensão de entrada: V_i=100\\ \mathrm{V}.
    • Resistência da carga: R=2\\ \Omega.
    • Valor médio da corrente na carga: I_o=100\\ \mathrm{A}.
    • Considerar operação em CCM (corrente do indutor contínua).
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar a potência dissipada na carga.
    b) Determinar o ciclo de trabalho D do conversor boost.
    c) Determinar o valor médio da corrente fornecida pela fonte de entrada.
    d) Discutir se os valores obtidos são fisicamente razoáveis para um projeto real (ordem de grandeza, dificuldades práticas, etc.).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar a tensão média no nó da carga (saída) a partir de R e I_o.
  • A lei de Ohm para a carga relaciona tensão e corrente: V_o = I_o \, R, onde
    • V_o é a tensão média na carga,
    • I_o é a corrente média na carga,
    • R é a resistência da carga.
  • Substituindo os valores dados:
    V_o = 100\\ \mathrm{A} \times 2\\ \Omega = 200\\ \mathrm{V}.
Explicando devagar: a carga é uma resistência, então a tensão sobre ela é simplesmente corrente vezes resistência. Aqui a saída do conversor precisa fornecer 200\\ \mathrm{V} para manter 100\\ \mathrm{A} em 2\\ \Omega.

Passo 3

Agora calculamos a potência dissipada na carga (item a).
  • Fórmula da potência elétrica em uma carga resistiva: P_o = V_o \, I_o. Alternativamente P_o = I_o^2 R ou P_o = V_o^2 / R; todas equivalentes para uma resistência.
  • Usando V_o=200\\ \mathrm{V} e I_o=100\\ \mathrm{A}: P_o = 200\\ \mathrm{V} \times 100\\ \mathrm{A} = 20\,000\\ \mathrm{W} = 20\\ \mathrm{kW}.
Comentário didático: essa potência é a potência média entregue à carga. Em um conversor ideal (sem perdas) a potência de entrada será igual a esta potência de saída.

Passo 4

Determinar o ciclo de trabalho D do conversor boost (item b). Vou mostrar a derivação da relação usada, passo a passo, porque é a parte teórica essencial.
  • Em um conversor boost ideal, aplicando o equilíbrio tensórico sobre o indutor (volt-second balance) em regime estacionário:
    • Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração D T, com T=1/f), o diodo está bloqueado e o indutor vê, idealmente, V_L^{\text{on}} = V_i.
    • Durante o intervalo em que o interruptor está desligado (duração (1-D)T), o indutor entrega energia para a saída e vê V_L^{\text{off}} = V_i - V_o.
  • Volt-second balance: a média da tensão no indutor ao longo de um período é zero em regime estacionário, logo V_i \, D + (V_i - V_o)(1-D) = 0.Aqui cada termo já está multiplicado por T que se cancela, então usamos frações do período.
  • Resolver para V_o: V_i D + V_i(1-D) - V_o(1-D)=0
V_i - V_o(1-D)=0
V_o = \frac{V_i}{1-D}.
  • Isolar D: 1-D = \frac{V_i}{V_o} \quad\Rightarrow\quad D = 1 - \frac{V_i}{V_o}.
  • Substituir V_i=100\\ \mathrm{V} e V_o=200\\ \mathrm{V}: D = 1 - \frac{100}{200} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5.
Explicação intuitiva: com D=0{,}5 o interruptor fica ligado metade do período; isso aumenta a tensão média para o dobro da entrada no boost ideal.

Passo 5

Determinar a corrente média fornecida pela fonte de entrada (item c).
  • Em um conversor ideal, potência de entrada P_{in} é igual à potência de saída P_o: P_{in} = P_o.
  • A corrente média da fonte é I_i = \dfrac{P_{in}}{V_i}. Em termos físicos, a corrente que a fonte fornece passa pelo indutor, então a média da corrente no indutor é igual à corrente média fornecida pela fonte.
  • Usando P_{in}=20\\ \mathrm{kW} e V_i=100\\ \mathrm{V}: I_i = \frac{20\,000\\ \mathrm{W}}{100\\ \mathrm{V}} = 200\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: portanto a fonte precisa fornecer 200\\ \mathrm{A} em média. A corrente média do indutor também será I_L^{\text{méd}}=I_i=200\\ \mathrm{A}é num conversor boost ideal e em CCM.

Passo 6

Breve verificação de consistência e uma estimativa prática (ajuda a responder d)).
  • Números obtidos até aqui:
    • V_o=200\\ \mathrm{V}.
    • P_o=20\\ \mathrm{kW}.
    • D=0{,}5.
    • I_i=200\\ \mathrm{A}, I_o=100\\ \mathrm{A}.
  • Esses valores implicam correntes e potências elevadas. Em termos práticos:
    • 20\\ \mathrm{kW} é potência de um motor elétrico médio/forte ou de um aquecedor industrial; não é “pequeno”.
    • 200\\ \mathrm{A} à 100\\ \mathrm{V} é uma corrente muito grande para fontes e cabos comuns de laboratório; exige condutores grossos, conectores reforçados e dispositivos de proteção adequados.
    • Chaveamento a f=1\\ \mathrm{kHz} é relativamente baixo: para reduzir tamanho/indutância do indutor normalmente se usa frequência muito maior (típico dezenas a centenas de kHz). A baixa frequência implica indutor maior para manter ripple aceitável.
  • Estimativa rápida do indutor para ter uma ondulação de corrente razoável (ilustrativa):
    • Suponha que se queira \Delta I_L \approx 20\% da corrente média do indutor. Então \Delta I_L \approx 0{,}2 \times 200\\ \mathrm{A} = 40\\ \mathrm{A}.
    • A variação de corrente no intervalo ON é \Delta I_L = \dfrac{V_i}{L}\,D\,\dfrac{1}{f}. Isolando L: L = \frac{V_i \, D}{\Delta I_L \, f}.
    • Substituindo V_i=100\\ \mathrm{V}, D=0{,}5, \Delta I_L=40\\ \mathrm{A}, f=1\\ \mathrm{kHz}: L \approx \frac{100 \times 0{,}5}{40 \times 1000} = \frac{50}{40\,000} = 1{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{H} = 1{,}25\\ \mathrm{mH}.
    • Comentário: 1{,}25\\ \mathrm{mH} carregando 200\\ \mathrm{A} é um indutor grande, pesado, com perdas significativas e necessidades de núcleo/espiras robustas. Além disso, dispositivos de comutação capazes de conduzir e comutar 200\\ \mathrm{A} (MOSFETs, IGBTs, diodos síncronos) e gerenciamento térmico são desafiadores.
  • Conclusão prática: os cálculos estão coerentes fisicamente (as fórmulas foram aplicadas corretamente). No entanto, os números indicam um projeto de alta potência/corrente que requer componentes industriais (cabos grossos, indutor robusto, chave de potência, arrefecimento, proteções). Para um projeto “pequeno” de bancada seria pouco viável; mas para aplicações industriais é perfeitamente possível (simplesmente exige projeto adequado).

Passo 7

Resumo final e motivação (curto, para te dar confiança):
  • Matemática simples (Ohm, potência, balanço tensório do indutor e conservação de potência) deu todas as respostas de forma direta.
  • O passo crítico em provas é lembrar as fórmulas:
    • V_o = I_o R,
    • Em boost ideal: V_o = \dfrac{V_i}{1-D},
    • Potência: P_o = V_o I_o,
    • Corrente de entrada em conversor ideal: I_i = \dfrac{P_o}{V_i}.
  • Empatia rápida: é normal assustar com correntes grandes — mas agora você já sabe calcular e interpretar. Vai com calma na hora da prova: calcule V_o pela carga, depois D pela relação boost, e por fim potências e correntes.

Resposta

a) P_o = 20\\ \mathrm{kW}.
b) D = 0{,}5.
c) I_{\mathrm{in}} = 200\\ \mathrm{A}.
d) Valores fisicamente possíveis, porém de alta potência/corrente: 20\\ \mathrm{kW} e 200\\ \mathrm{A} exigem componentes industriais (indutor robusto, chaves e diodos que suportem alta corrente, dissipação térmica, condutores grossos). A frequência baixa ( 1\\ \mathrm{kHz}) implica indutores volumosos; o projeto é viável em escala industrial, mas pouco prático para uma montagem de bancada sem projeto específico e infraestrutura adequada.

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