EXERCICIO 07 - Buck-Boost em CCM com tempos de condução (intermediário)
Um conversor Buck-Boost alimenta uma carga que requer uma tensão de Vo =75 \mathrm{~V} (tensão média).
A fonte de entrada é Vi =50 \mathrm{~V} e a indutância do filtro é \mathrm{L}=0,8 \mathrm{mH}.
O tempo de condução da chave é ton =1,5 \mathrm{~ms}.
Considere CCM e componentes ideais. Determine:
a) A frequência de chaveamento de operação do conversor e o ciclo de trabalho D.
b) O valor máximo da corrente no indutor Imax.
c) O valor mínimo da corrente no indutor Imin.
d) A ondulação pico a pico da corrente no indutor (corrente de entrada).
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar tudo com cuidado para a gente não se perder):
Tensão de entrada: V_i = 50\\ \text{V}.
Tensão média de saída: V_o = 75\\ \text{V}.
Indutância do filtro: L = 0{,}8\\ \text{mH} = 0{,}8\times10^{-3}\\ \text{H}.
Tempo de condução da chave (ton): \text{ton} = 1{,}5\\ \text{ms} = 1{,}5\times10^{-3}\\ \text{s}.
Operação em CCM (corrente do indutor contínua) e componentes ideais.
O enunciado pede quatro coisas:
(a) Determinar a frequência de chaveamento de operação do conversor e o ciclo de trabalho D.
(b) Determinar o valor máximo da corrente no indutor I_{\max}.
(c) Determinar o valor mínimo da corrente no indutor I_{\min}.
(d) Determinar a ondulação pico a pico da corrente no indutor (corrente de entrada) \Delta I_{L,pp}.
Observação importante: o enunciado não fornece a corrente de carga (ou a potência da carga). Para obter valores numéricos de I_{\max} e I_{\min} é necessário conhecer a corrente média do indutor \overline{I_L} (que, em regime estacionário, é igual à corrente média de entrada). Se faltar essa informação, só é possível fornecer fórmulas relacionando I_{\max} e I_{\min} com \overline{I_L} e calcular a ondulação numérica que depende apenas de V_i, \text{ton} e L. Vou seguir explicando e calcular tudo o que for numérico; onde faltar informação, deixo a fórmula clara para você aplicar se souber a corrente média.
Passo 2
Entendendo a relação tensão–dever-de-uso (D) no conversor Buck–Boost e calculando D.
Rápida aula prática: para o conversor Buck–Boost (topologia inversora convencional) em regime estacionário com componentes ideais, a relação de médias de tensões usando balanço de fluxo magnético (volt‑segundos) leva à relação entre saída média e entrada:
V_o = \frac{D}{1-D}\,V_i,
onde:
D é o ciclo de trabalho (fração do período em que a chave está ligada),
V_i é a tensão de entrada,
V_o é a magnitude da tensão de saída (aqui estamos tratando de magnitudes).
Essa fórmula vem de: durante \text{ton}=D\cdot T a tensão no indutor é +V_i (sobe corrente), durante \text{toff}=(1-D)T a tensão no indutor é -V_o (diminui corrente); impondo balanço de volt‑segundos: V_i D T - V_o (1-D)T = 0 e daí a relação acima.
Derivar a expressão da ondulação da corrente do indutor e calcular numericamente \Delta I_{L,pp}.
Aula rápida sobre ripple do indutor: a variação instantânea da corrente no indutor vem de v_L = L\,\dfrac{di_L}{dt}. Durante o intervalo em que a chave está ligada (\text{ton}), a tensão sobre o indutor é aproximadamente +V_i (assumindo componentes ideais), então a inclinação de corrente é
A variação de corrente durante \text{ton} (aumento) é:
\Delta I_{\text{on}}=\frac{V_i}{L}\,\text{ton}.
A variação durante \text{toff} (decréscimo) é:
\Delta I_{\text{off}}=\frac{V_o}{L}\,\text{toff}.
Em regime estacionário \Delta I_{\text{on}}=\Delta I_{\text{off}}, portanto o pico‑a‑pico total da ondulação é precisamente \Delta I_{L,pp}=\Delta I_{\text{on}} (ou igual a \Delta I_{\text{off}}).
Portanto a ondulação pico‑a‑pico da corrente do indutor é \Delta I_{L,pp}=93{,}75\\ \text{A}. (Grande valor — significa que com essa indutância/temporização a corrente oscila bastante.)
Passo 5
Expressões e interpretação para I_{\max} e I_{\min}; condição de CCM e valor mínimo de carga para manter CCM.
Em CCM a corrente do indutor oscila em torno de uma corrente média \overline{I_L}. A forma senoidal/triangular simplificada dá:
Essas são fórmulas gerais: para obter valores numéricos de I_{\max} e I_{\min} é preciso conhecer \overline{I_L} (a corrente média do indutor). Em um conversor ideal a potência faz balanço:
V_o I_o = V_i \overline{I_L},
ou seja \overline{I_L} = \dfrac{V_o}{V_i}\,I_o, porque a corrente média no indutor é a corrente de entrada. Como o enunciado não fornece I_o (ou P_o), não é possível dar números para I_{\max} e I_{\min} além das fórmulas acima.
Entretanto, podemos calcular o mínimo de corrente média necessário para permanecer em CCM: a condição é \overline{I_L} > \dfrac{\Delta I_{L,pp}}{2}. Assim o limite inferior é
Isso significa que, se \overline{I_L} cair abaixo de 46{,}875\\ \text{A}, a corrente do indutor tocaria zero em cada ciclo (passando para DCM), contrariando a hipótese de CCM.
Também podemos traduzir isso em corrente de saída mínima I_{o,\min} para manter CCM usando \overline{I_L}=(V_o/V_i)I_o:
Ou seja, a carga precisa puxar pelo menos 31{,}25\\ \text{A} (o que corresponde a P_o=V_o I_o \approx 75\times31{,}25=2343{,}75\\ \text{W}) para o conversor permanecer em CCM com os parâmetros dados.
Passo 6
Resumo prático para usar na prova (como aplicar rápido):
Calcule primeiro D=\dfrac{V_o}{V_i+V_o}.
Encontre T=\dfrac{\text{ton}}{D} e f=1/T.
Ripple do indutor: \Delta I_{L,pp}=\dfrac{V_i}{L}\,\text{ton}.
Se precisar da corrente média e não vier no enunciado, use a relação de potência V_o I_o = V_i \overline{I_L} (ou informe que falta dado).
Resposta
(a) f=400\\ \text{Hz}, D=0{,}6
(b) I_{\max}=\overline{I_L}+\dfrac{\Delta I_{L,pp}}{2} (não é possível avaliar numericamente sem a corrente média \overline{I_L})
(c) I_{\min}=\overline{I_L}-\dfrac{\Delta I_{L,pp}}{2} (não é possível avaliar numericamente sem a corrente média \overline{I_L})
(d) \Delta I_{L,pp}=93{,}75\\ \text{A}