EXERCÍCIO 06 - Buck-Boost em CCM com ondulação (intermediário)
Um conversor Buck-Boost possui os seguintes parâmetros:
- Tensão de entrada: Vi
- Ciclo de trabalho:
- Resistência de carga: R
- Indutância:
- Capacitância:
- Frequência de chaveamento:
Considere CCM. Determine:
a) A tensão média de saída Vo.
b) A corrente média no indutor IL.
c) Os valores máximo e mínimo da corrente no indutor.
d) A tensão de ondulação na saída
Vo (pico a pico), indicando as aproximações utilizadas.
Um conversor Buck-Boost possui os seguintes parâmetros:
a) A tensão média de saída Vo.
b) A corrente média no indutor IL.
c) Os valores máximo e mínimo da corrente no indutor.
d) A tensão de ondulação na saída
Passo 1
O enunciado dá um conversor Buck–Boost (assuma ideal: sem perdas, diodo e chave ideais) com os parâmetros seguintes:
- Tensão de entrada:
. - Ciclo de trabalho:
. - Resistência de carga:
. - Indutância:
. - Capacitância:
. - Frequência de chaveamento:
(portanto período ).
O que o enunciado pede:
(a) A tensão média de saída .
(b) A corrente média no indutor (média sobre um período).
(c) Os valores máximo e mínimo da corrente no indutor e
.
(d) A tensão de ondulação na saída (pico a pico), indicando aproximações utilizadas.
(a) A tensão média de saída
(b) A corrente média no indutor
(c) Os valores máximo e mínimo da corrente no indutor
(d) A tensão de ondulação na saída
Observação importante (será discutida nas contas): o enunciado pede para “considerar CCM”. Durante a resolução vamos aplicar as fórmulas de CCM, calcular resultados numéricos e verificar se a hipótese CCM é consistente com os valores obtidos.
Passo 2
A relação tensão–dever-de-carga do Buck–Boost ideal (topologia inverting) em regime permanente e em CCM obtém‑se pelo balanço volt‑segundo no indutor: a média da tensão no indutor deve ser zero em regime periódico. Quando a chave está ligada (intervalo
), o indutor vê
. Quando a chave abre (intervalo
), o indutor entrega energia ao capacitor/carga e a tensão no indutor é
(note que
é negativa na configuração inverting). O balanço volt‑segundo é
Dessa equação isolamos
:
Agora substituímos os números:
Interpretação prática: a saída tem polaridade invertida (por isso o sinal negativo); o módulo da tensão de saída é
.
Passo 3
Calcular a corrente média no indutor
(assumindo CCM e componentes ideais).
Primeira forma de obter
: usar potência (conservação de potência em conversor ideal). A potência de entrada média é
(porque a corrente de entrada é a corrente do indutor). A potência de saída média é
(módulos). Em regime estacionário,
. Também
(atenção ao sinal; usamos módulo para potência).
- Calcule a corrente de carga (média)
:
O módulo é
.
- Igualando potências:
Isolando
:
Substituindo
dá uma forma prática:
Usando números:
Arredondando razoavelmente:
Comentário didático: essa expressão vem de dois fatos simples: (i)
e (ii) potência de entrada igual potência de saída em conversor ideal. Assim obtemos
diretamente a partir de
e
.
Passo 4
Calcular a ondulação pico‑a‑pico da corrente do indutor
(forma triangular).
Durante o intervalo ON (duração
) o indutor vê a tensão
, então a taxa de variação da corrente é
A variação de corrente no tempo
(subida) é
Em regime periódico a descida tem mesma amplitude (com sinais contrários), então o pico‑a‑pico total é
Substituindo valores numéricos:
Calculemos passo a passo:
logo
Passo 5
Determinar
e
a partir de
e
.
Para uma onda triangular simétrica em torno da média:
Substituindo os valores:
Interpretação crítica (muito importante):
ficou negativo (
). Isso significa que, com os valores dados (
,
, etc.), a corrente do indutor chegaria a zero e inverteria sinal — ou seja, na prática o conversor estaria em DCM (modo de condução descontínua), e não em CCM. Portanto a hipótese inicial “considerar CCM” é inconsistente com os parâmetros numéricos: para garantir CCM seria necessário um indutor maior. Podemos calcular o valor mínimo de
para manter
:
Condição
=>
. Use
e rearranje para
:
Substituindo
(usando valor calculado sob CCM para estimar limite) e números:
Logo o indutor dado
é insuficiente para garantir CCM; precisaria de cerca de
ou mais.
Passo 6
Calcular a ondulação de tensão na saída
(pico a pico). Vamos fazer uma dedução didática e as aproximações usadas.
Modelo e aproximações usadas:
- Capacitor ideal com capacitância
(desprezar ESR). - A corrente de carga
é considerada praticamente constante durante um período (pequena ondulação relativa). - A corrente do indutor é triangular (boa aproximação) e o comportamento é periódico.
- Partimos da conservação de carga do capacitor: a integral da corrente do capacitor em um período é zero (em regime estacionário).
- Com essas hipóteses encontra‑se uma expressão simples para
em Buck–Boost (analogia com boost/buck): a ondulação pico‑a‑pico aproximada é
Derivação curta (intuição):
- Durante o intervalo ON (duração
) o diodo está bloqueado e o capacitor supre a carga com corrente : a variação de tensão do capacitor nesse intervalo é . - Durante o intervalo OFF, o indutor fornece corrente ao capacitor+carga; integrando as correntes no intervalo OFF e somando com
obtém‑se que o pico a pico total é . (A demonstração integral completa mostra que e as contagens levam a essa expressão.)
Agora substituímos números (use módulo de
para a amplitude):
Calculemos:
logo
Observações sobre aproximações e validade:
- A fórmula
é uma aproximação que assume corrente de carga quase constante e capacitor grande o suficiente para que a ondulação seja pequena. Ela não inclui efeitos de ESR do capacitor nem as pequenas contribuições da forma exata da corrente triangular. - Contudo, dado que a ondulação calculada é pequena (
sobre , ou cerca de ), a aproximação é razoável. - IMPORTANTE: como já observado, os parâmetros do enunciado colocam o conversor na região DCM na prática (porque
). As fórmulas acima para , e foram obtidas assumindo CCM; quando o conversor está em DCM, a forma exata de e de muda — mas a ordem de grandeza de ainda tende a ser pequena e a estimativa é útil como aproximação.