EXERCÍCIO 06 - Buck-Boost em CCM com ondulação (intermediário)
Um conversor Buck-Boost possui os seguintes parâmetros:
  • Tensão de entrada: Vi =24 \mathrm{~V}
  • Ciclo de trabalho: \mathrm{D}=0,4
  • Resistência de carga: R =5 \Omega
  • Indutância: L=20 \mu \mathrm{H}
  • Capacitância: \mathrm{C}=80 \mu \mathrm{~F}
  • Frequência de chaveamento: \mathrm{f}=100 \mathrm{kHz}
Considere CCM. Determine:
a) A tensão média de saída Vo.
b) A corrente média no indutor IL.
c) Os valores máximo e mínimo da corrente no indutor.
d) A tensão de ondulação na saída \Delta Vo (pico a pico), indicando as aproximações utilizadas.

Passo 1

O enunciado dá um conversor Buck–Boost (assuma ideal: sem perdas, diodo e chave ideais) com os parâmetros seguintes:
  • Tensão de entrada: V_i = 24\\ \mathrm{V}.
  • Ciclo de trabalho: D = 0{,}4.
  • Resistência de carga: R = 5\\ \Omega.
  • Indutância: L = 20\\ \mu\mathrm{H}.
  • Capacitância: C = 80\\ \mu\mathrm{F}.
  • Frequência de chaveamento: f = 100\\ \mathrm{kHz} (portanto período T = 1/f = 10^{-5}\\ \mathrm{s}).
O que o enunciado pede:
(a) A tensão média de saída V_o.
(b) A corrente média no indutor I_L (média sobre um período).
(c) Os valores máximo e mínimo da corrente no indutor I_{L,\max} e I_{L,\min}.
(d) A tensão de ondulação na saída \Delta V_o (pico a pico), indicando aproximações utilizadas.
Observação importante (será discutida nas contas): o enunciado pede para “considerar CCM”. Durante a resolução vamos aplicar as fórmulas de CCM, calcular resultados numéricos e verificar se a hipótese CCM é consistente com os valores obtidos.

Passo 2

A relação tensão–dever-de-carga do Buck–Boost ideal (topologia inverting) em regime permanente e em CCM obtém‑se pelo balanço volt‑segundo no indutor: a média da tensão no indutor deve ser zero em regime periódico. Quando a chave está ligada (intervalo D), o indutor vê \;v_L = V_i. Quando a chave abre (intervalo 1-D), o indutor entrega energia ao capacitor/carga e a tensão no indutor é v_L = V_o (note que V_o é negativa na configuração inverting). O balanço volt‑segundo é
D\;V_i + (1-D)\;V_o = 0.
Dessa equação isolamos V_o:
V_o = -\frac{D}{1-D}\,V_i.
Agora substituímos os números:
V_o = -\frac{0{,}4}{1-0{,}4}\cdot 24\\ \mathrm{V} = -\frac{0{,}4}{0{,}6}\cdot 24\\ \mathrm{V} = -\frac{2}{3}\cdot 24\\ \mathrm{V} = -16\\ \mathrm{V}.
Interpretação prática: a saída tem polaridade invertida (por isso o sinal negativo); o módulo da tensão de saída é |V_o|=16\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Calcular a corrente média no indutor I_L (assumindo CCM e componentes ideais).
Primeira forma de obter I_L: usar potência (conservação de potência em conversor ideal). A potência de entrada média é P_{in}=V_i I_L (porque a corrente de entrada é a corrente do indutor). A potência de saída média é P_{out}=|V_o|\,|I_o| (módulos). Em regime estacionário, P_{in}=P_{out}. Também I_o = V_o/R (atenção ao sinal; usamos módulo para potência).
  1. Calcule a corrente de carga (média) I_o:
I_o = \frac{V_o}{R} = \frac{-16\\ \mathrm{V}}{5\\ \Omega} = -3{,}2\\ \mathrm{A}.
O módulo é |I_o| = 3{,}2\\ \mathrm{A}.
  1. Igualando potências:
V_i\,I_L = |V_o|\,|I_o|.
Isolando I_L:
I_L = \frac{|V_o|\,|I_o|}{V_i}.
Substituindo |V_o| = \dfrac{D}{1-D}V_i dá uma forma prática:
I_L = \frac{D}{1-D}\,I_o.
Usando números:
I_L = \frac{0{,}4}{0{,}6}\cdot 3{,}2\\ \mathrm{A} = \frac{2}{3}\cdot 3{,}2\\ \mathrm{A} = 2{,}133\ldots\\ \mathrm{A}.
Arredondando razoavelmente: I_L \approx 2{,}13\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: essa expressão vem de dois fatos simples: (i) V_o = -\dfrac{D}{1-D}V_i e (ii) potência de entrada igual potência de saída em conversor ideal. Assim obtemos I_L diretamente a partir de I_o e D.

Passo 4

Calcular a ondulação pico‑a‑pico da corrente do indutor \Delta i_L (forma triangular).
Durante o intervalo ON (duração D T) o indutor vê a tensão v_L = V_i, então a taxa de variação da corrente é
\frac{di_L}{dt} = \frac{V_i}{L}.
A variação de corrente no tempo D T (subida) é
\Delta i_{on} = \frac{V_i}{L}\,D T = \frac{V_i D}{L f}.
Em regime periódico a descida tem mesma amplitude (com sinais contrários), então o pico‑a‑pico total é
\Delta i_L = \Delta i_{on} = \frac{V_i D}{L f}.
Substituindo valores numéricos:
\Delta i_L = \frac{24\cdot 0{,}4}{20\times10^{-6}\cdot 10^{5}}.
Calculemos passo a passo:
L f = 20\times10^{-6}\cdot10^{5} = 2{,}0,
24\cdot0{,}4 = 9{,}6,
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\Delta i_L = \frac{9{,}6}{2{,}0} = 4{,}8\\ \mathrm{A}\\ (\text{pico a pico}).

Passo 5

Determinar I_{L,\max} e I_{L,\min} a partir de I_L e \Delta i_L.
Para uma onda triangular simétrica em torno da média:
I_{L,\max} = I_L + \frac{\Delta i_L}{2},\qquad I_{L,\min} = I_L - \frac{\Delta i_L}{2}.
Substituindo os valores:
I_{L,\max} = 2{,}1333\ldots + \frac{4{,}8}{2} = 2{,}1333\ldots + 2{,}4 = 4{,}5333\\ \mathrm{A},
I_{L,\min} = 2{,}1333\ldots - 2{,}4 = -0{,}2667\\ \mathrm{A}.
Interpretação crítica (muito importante): I_{L,\min} ficou negativo ( -0{,}267\\ \mathrm{A}). Isso significa que, com os valores dados ( L=20\\ \mu\mathrm{H}, D=0{,}4, etc.), a corrente do indutor chegaria a zero e inverteria sinal — ou seja, na prática o conversor estaria em DCM (modo de condução descontínua), e não em CCM. Portanto a hipótese inicial “considerar CCM” é inconsistente com os parâmetros numéricos: para garantir CCM seria necessário um indutor maior. Podemos calcular o valor mínimo de L para manter I_{L,\min}\ge 0:
Condição I_{L,\min}\ge0 => I_L \ge \Delta i_L/2. Use \Delta i_L = V_i D /(L f) e rearranje para L:
L \ge \frac{V_i D}{2 f I_L}.
Substituindo I_L (usando valor calculado sob CCM para estimar limite) e números:
L_{\min} = \frac{24\cdot 0{,}4}{2\cdot 10^{5}\cdot 2{,}1333\ldots} = \frac{9{,}6}{4{,}2666\ldots\times10^{5}} \approx 22{,}5\\ \mu\mathrm{H}.
Logo o indutor dado L=20\\ \mu\mathrm{H} é insuficiente para garantir CCM; precisaria de cerca de 22{,}5\\ \mu\mathrm{H} ou mais.

Passo 6

Calcular a ondulação de tensão na saída \Delta V_o (pico a pico). Vamos fazer uma dedução didática e as aproximações usadas.
Modelo e aproximações usadas:
  • Capacitor ideal com capacitância C (desprezar ESR).
  • A corrente de carga I_o é considerada praticamente constante durante um período (pequena ondulação relativa).
  • A corrente do indutor é triangular (boa aproximação) e o comportamento é periódico.
  • Partimos da conservação de carga do capacitor: a integral da corrente do capacitor em um período é zero (em regime estacionário).
  • Com essas hipóteses encontra‑se uma expressão simples para \Delta V_o em Buck–Boost (analogia com boost/buck): a ondulação pico‑a‑pico aproximada é
\Delta V_o \approx \frac{I_o\,D}{C\,f}.
Derivação curta (intuição):
  • Durante o intervalo ON (duração D T) o diodo está bloqueado e o capacitor supre a carga com corrente -I_o: a variação de tensão do capacitor nesse intervalo é \Delta V_{on} = -\dfrac{I_o D T}{C}.
  • Durante o intervalo OFF, o indutor fornece corrente ao capacitor+carga; integrando as correntes no intervalo OFF e somando com \Delta V_{on} obtém‑se que o pico a pico total é |\Delta V_o| = \dfrac{|I_o| D T}{C}. (A demonstração integral completa mostra que \int_{off} i_L dt = I_o T e as contagens levam a essa expressão.)
Agora substituímos números (use módulo de I_o para a amplitude):
\Delta V_o = \frac{|I_o|\,D}{C\,f} = \frac{3{,}2\cdot 0{,}4}{80\times10^{-6}\cdot 10^{5}}.
Calculemos:
C f = 80\times10^{-6}\cdot10^{5} = 8{,}0,
3{,}2\cdot 0{,}4 = 1{,}28,
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\Delta V_o = \frac{1{,}28}{8{,}0} = 0{,}16\\ \mathrm{V}\\ (\text{pico a pico}).
Observações sobre aproximações e validade:
  • A fórmula \Delta V_o \approx \dfrac{I_o D}{C f} é uma aproximação que assume corrente de carga quase constante e capacitor grande o suficiente para que a ondulação seja pequena. Ela não inclui efeitos de ESR do capacitor nem as pequenas contribuições da forma exata da corrente triangular.
  • Contudo, dado que a ondulação calculada é pequena ( 0{,}16\\ \mathrm{V} sobre 16\\ \mathrm{V}, ou cerca de 1{,}0\%), a aproximação é razoável.
  • IMPORTANTE: como já observado, os parâmetros do enunciado colocam o conversor na região DCM na prática (porque I_{L,\min}<0). As fórmulas acima para I_L, \Delta i_L e \Delta V_o foram obtidas assumindo CCM; quando o conversor está em DCM, a forma exata de I_L e de \Delta V_o muda — mas a ordem de grandeza de \Delta V_o ainda tende a ser pequena e a estimativa é útil como aproximação.

Resposta

V_o = -16\\ \mathrm{V}
I_L \approx 2{,}13\\ \mathrm{A}
I_{L,\max} \approx 4{,}53\\ \mathrm{A},\quad I_{L,\min} \approx -0{,}27\\ \mathrm{A}
\Delta V_o \approx 0{,}16\\ \mathrm{V}

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