Exercício 06
Considere que a equação de onda dada por:
(c) Avalie se a função
é solução.
Considere que a equação de onda dada por:
Passo 1
O enunciado dá a equação de onda
e pede para avaliar se a função
é solução dessa equação. Informações relevantes fornecidas:
- A função proposta depende apenas de
, isto é, não tem dependência explícita em . - A verificação consiste em substituir essa função na equação de onda e checar se a igualdade é verdadeira para todo par
do domínio.
Passo 2
O que significa ser solução da equação de onda: uma função
é solução se, ao calcular as derivadas parciais exigidas e substituir na equação, a igualdade fica satisfeita para todos os
e
(ou para todo o domínio considerado). Portanto precisamos calcular
e
para
e comparar os dois lados.
Explicação breve sobre derivadas parciais usadas aqui:
-
trata como constante e diferencia em relação a . -
trata como constante e diferencia em relação a .
Se a função não depende de uma variável (aqui), todas as derivadas parciais em relação a essa variável serão zero.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais em relação a
.
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais em relação a
.
Como
não depende de
, tem-se
Passo 5
Substituir os resultados na equação de onda.
Lado esquerdo (derivada em
):
Lado direito (derivada em
multiplicada por
):
A equação exige igualdade entre os dois lados, isto é
Essa igualdade só é verdadeira em pontos isolados onde
, ou seja em
(
), mas não é verdadeira para todo
. Logo a função não satisfaz a equação de onda para todos os
.
Observação didática extra (útil para a prova): qualquer função que não dependa de
só pode ser solução da equação de onda se
, isto é, se
for da forma
(função linear). Como
não é linear, ela falha nesse critério.
Passo 6
Conclusão final e incentivo: portanto
não é solução da equação de onda (exceto nos pontos isolados
). Força aí — lembrar de sempre checar dependência em
é um atalho rápido na prova!
Resposta
Não.
não satisfaz a equação de onda, pois
e
, o que exigiria
para todo
(só ocorre em
).