Exercício 06
Considere que a equação de onda dada por:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} y(x, t)=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} y(x, t) .
(c) Avalie se a função y(x)=\operatorname{sen} x é solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação de onda
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}y(x,t)=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}y(x,t)
e pede para avaliar se a função y(x)=\sin x é solução dessa equação. Informações relevantes fornecidas:
  • A função proposta depende apenas de x, isto é, y(x,t)=\sin x não tem dependência explícita em t.
  • A verificação consiste em substituir essa função na equação de onda e checar se a igualdade é verdadeira para todo par (x,t) do domínio.

Passo 2

O que significa ser solução da equação de onda: uma função y(x,t) é solução se, ao calcular as derivadas parciais exigidas e substituir na equação, a igualdade fica satisfeita para todos os x e t (ou para todo o domínio considerado). Portanto precisamos calcular \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}} e \dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} para y(x,t)=\sin x e comparar os dois lados.
Explicação breve sobre derivadas parciais usadas aqui:
  • \dfrac{\partial}{\partial x} trata t como constante e diferencia em relação a x.
  • \dfrac{\partial}{\partial t} trata x como constante e diferencia em relação a t.
    Se a função não depende de uma variável (aqui t), todas as derivadas parciais em relação a essa variável serão zero.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em relação a x.
Primeira derivada em x:
\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Segunda derivada em x:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais em relação a t.
Como y(x,t)=\sin x não depende de t, tem-se
\frac{\partial y}{\partial t}=0 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=0.

Passo 5

Substituir os resultados na equação de onda.
Lado esquerdo (derivada em x):
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-\sin x.
Lado direito (derivada em t multiplicada por 1/v^{2}):
\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\cdot 0=0.
A equação exige igualdade entre os dois lados, isto é
-\sin x = 0.
Essa igualdade só é verdadeira em pontos isolados onde \sin x=0, ou seja em x=n\pi ( n\in\mathbb{Z}), mas não é verdadeira para todo x. Logo a função não satisfaz a equação de onda para todos os (x,t).
Observação didática extra (útil para a prova): qualquer função que não dependa de t só pode ser solução da equação de onda se \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=0, isto é, se y for da forma y(x)=ax+b (função linear). Como \sin x não é linear, ela falha nesse critério.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: portanto y(x)=\sin x não é solução da equação de onda (exceto nos pontos isolados x=n\pi). Força aí — lembrar de sempre checar dependência em t é um atalho rápido na prova!

Resposta

Não. \;y(x)=\sin x não satisfaz a equação de onda, pois \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=-\sin x e \dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=0, o que exigiria -\sin x=0 para todo x (só ocorre em x=n\pi).

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