Exercício 25
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear \mu_{1} e tensão T, que está ligada a uma outra corda de densidade linear \mu_{2}, sob a mesma tensão T.
(e) Calcule r^{2} e \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right) t^{2} e, na sequência, mostre que a soma é igual a 1.
r^{2}+\frac{v_{1}}{v_{2}} t^{2}=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Duas cordas ligadas em uma junção, sob a mesma tensão T.
    • Densidades lineares: \mu_{1} (à esquerda) e \mu_{2} (à direita).
    • Velocidades de propagação nas cordas: v_{1} e v_{2}, com v_{i}=\sqrt{\frac{T}{\mu_{i}}}\quad\text{para }i=1,2.
    • Há uma onda incidente da corda 1 que gera uma onda refletida na corda 1 e uma transmitida na corda 2. Vamos usar amplitudes relativas:
      • amplitude incidente: A,
      • amplitude refletida: B,
      • amplitude transmitida: C.
  • O que o enunciado pede (parte (e)):
    • Calcular r^{2}, onde r é o coeficiente de reflexão (ou seja r=B/A).
    • Calcular \dfrac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2}, onde t é o coeficiente de transmissão (ou seja t=C/A).
    • Mostrar que r^{2}+\frac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2}=1.

Passo 2

Escrever as condições de contorno na junção e explicar por que elas valem.
  • Continuidade do deslocamento transversal (a corda não se parte): no ponto de junção (tomado em x=0),
    A+B=C.
    Explicação didática: a soma da onda incidente e da refletida, vista do lado esquerdo, deve dar o mesmo deslocamento que a onda transmitida do lado direito no ponto de junção, para que a corda não tenha salto na posição.
  • Continuidade da força transversal (tensão produz a mesma força de um lado e de outro): a derivada espacial de y multiplicada por T deve ser contínua. Para ondas harmônicas com dependência e^{-i\omega t} e formas e^{\pm i k x}, a derivada espacial traz fatores \pm i k. Assim, avaliando em x=0,
    k_{1}(A-B)=k_{2}C,
    onde k_{i}=\dfrac{\omega}{v_{i}} é o número de onda na corda i.
    Explicação didática: a componente transversal da tensão é proporcional à inclinação \partial y/\partial x; a igualdade das forças transversais leva à igualdade das derivadas (com os sinais corretos das ondas direita/esquerda), daí surge o fator k.

Passo 3

Definir os coeficientes r e t e resolver o sistema das duas equações para eles.
  • Definições:
    r=\frac{B}{A},\qquad t=\frac{C}{A}.
  • Das duas condições:
    A+B=C \quad\Rightarrow\quad 1+r=t.
k_{1}(A-B)=k_{2}C \quad\Rightarrow\quad k_{1}(1-r)=k_{2}t.
  • Eliminar t: da primeira, t=1+r. Substituindo na segunda: k_{1}(1-r)=k_{2}(1+r).Resolver para r: k_{1}-k_{1}r = k_{2} + k_{2}r
k_{1}-k_{2} = r(k_{1}+k_{2})
r=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}.
  • Agora obter t usando t=1+r: t=1+\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.

Passo 4

Expressar r e t em termos das velocidades v_{1} e v_{2}.
  • Lembrando que k_{i}=\dfrac{\omega}{v_{i}}, temos
    r=\frac{\dfrac{\omega}{v_{1}}-\dfrac{\omega}{v_{2}}}{\dfrac{\omega}{v_{1}}+\dfrac{\omega}{v_{2}}} =\frac{\dfrac{1}{v_{1}}-\dfrac{1}{v_{2}}}{\dfrac{1}{v_{1}}+\dfrac{1}{v_{2}}} =\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}.
  • Para t:
    t=\frac{2\dfrac{\omega}{v_{1}}}{\dfrac{\omega}{v_{1}}+\dfrac{\omega}{v_{2}}} =\frac{2\dfrac{1}{v_{1}}}{\dfrac{1}{v_{1}}+\dfrac{1}{v_{2}}} =\frac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}.
  • Observação física curta (didática): o sinal de r indica inversão de fase quando r<0; isso ocorre quando v_{2}<v_{1} (corda mais lenta/mais densa à direita).

Passo 5

Calcular r^{2} explicitamente.
  • Usando r=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}: r^{2}=\left(\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}\right)^{2} =\frac{(v_{2}-v_{1})^{2}}{(v_{2}+v_{1})^{2}}.

Passo 6

Calcular \dfrac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2} explicitamente.
  • Usando t=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}: t^{2}=\left(\frac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}\right)^{2} =\frac{4v_{2}^{2}}{(v_{1}+v_{2})^{2}}.
  • Multiplicando por \dfrac{v_{1}}{v_{2}}: \frac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2}=\frac{v_{1}}{v_{2}}\cdot\frac{4v_{2}^{2}}{(v_{1}+v_{2})^{2}} =\frac{4v_{1}v_{2}}{(v_{1}+v_{2})^{2}}.

Passo 7

Somar r^{2} e \dfrac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2} e simplificar para mostrar que dá 1.
  • Soma: r^{2}+\frac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2} =\frac{(v_{2}-v_{1})^{2}}{(v_{1}+v_{2})^{2}}+\frac{4v_{1}v_{2}}{(v_{1}+v_{2})^{2}}.
  • Colocar sobre o mesmo denominador: =\frac{(v_{2}-v_{1})^{2}+4v_{1}v_{2}}{(v_{1}+v_{2})^{2}}.
  • Desenvolver o numerador: (v_{2}-v_{1})^{2}+4v_{1}v_{2} =\big(v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}+v_{1}^{2}\big)+4v_{1}v_{2} =v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}+v_{1}^{2}.
  • Reconhecer: v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}+v_{1}^{2}=(v_{1}+v_{2})^{2}.
  • Portanto r^{2}+\frac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2} =\frac{(v_{1}+v_{2})^{2}}{(v_{1}+v_{2})^{2}}=1.

Resposta

r^{2}+\dfrac{v_{1}}{v_{2}}\,t^{2}=1

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