Exercício 25
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear
e tensão
, que está ligada a uma outra corda de densidade linear
, sob a mesma tensão
.
(e) Calcule
e
e, na sequência, mostre que a soma é igual a 1.
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados do enunciado:
- Duas cordas ligadas em uma junção, sob a mesma tensão
. - Densidades lineares:
(à esquerda) e (à direita). - Velocidades de propagação nas cordas:
e , com - Há uma onda incidente da corda 1 que gera uma onda refletida na corda 1 e uma transmitida na corda 2. Vamos usar amplitudes relativas:
- amplitude incidente:
, - amplitude refletida:
, - amplitude transmitida:
.
- amplitude incidente:
- Duas cordas ligadas em uma junção, sob a mesma tensão
- O que o enunciado pede (parte (e)):
- Calcular
, onde é o coeficiente de reflexão (ou seja ). - Calcular
, onde é o coeficiente de transmissão (ou seja ). - Mostrar que
- Calcular
Passo 2
Escrever as condições de contorno na junção e explicar por que elas valem.
-
Continuidade do deslocamento transversal (a corda não se parte): no ponto de junção (tomado em
), Explicação didática: a soma da onda incidente e da refletida, vista do lado esquerdo, deve dar o mesmo deslocamento que a onda transmitida do lado direito no ponto de junção, para que a corda não tenha salto na posição. -
Continuidade da força transversal (tensão produz a mesma força de um lado e de outro): a derivada espacial de
multiplicada por deve ser contínua. Para ondas harmônicas com dependência e formas , a derivada espacial traz fatores . Assim, avaliando em , ondeé o número de onda na corda .
Explicação didática: a componente transversal da tensão é proporcional à inclinação; a igualdade das forças transversais leva à igualdade das derivadas (com os sinais corretos das ondas direita/esquerda), daí surge o fator .
Passo 3
Definir os coeficientes
e
e resolver o sistema das duas equações para eles.
-
Definições:
-
Das duas condições:
- Eliminar
: da primeira, . Substituindo na segunda: Resolver para :
- Agora obter
usando :
Passo 4
Expressar
e
em termos das velocidades
e
.
-
Lembrando que
, temos -
Para
: -
Observação física curta (didática): o sinal de
indica inversão de fase quando ; isso ocorre quando (corda mais lenta/mais densa à direita).
Passo 5
Calcular
explicitamente.
- Usando
:
Passo 6
Calcular
explicitamente.
- Usando
: - Multiplicando por
:
Passo 7
Somar
e
e simplificar para mostrar que dá 1.
- Soma:
- Colocar sobre o mesmo denominador:
- Desenvolver o numerador:
- Reconhecer:
- Portanto