Exercício 03
Considere uma onda descrita por y(x, t)=A \sin (k x-\omega t).
(a) Obtenha o módulo da velocidade v_{v} associada.
Passo 1
O enunciado dá a onda
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)
e pede: obter o módulo da velocidade v_{v} associada a essa onda.
Informações dadas e símbolos:
A é a amplitude da onda (unidades de comprimento, por exemplo metros).
k é o número de onda (unidades de radianos por metro). Relaciona-se com o comprimento de onda \lambda por \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
\omega é a frequência angular (unidades de rad/s). Relaciona-se com a frequência f por \;\omega=2\pi f.
A função y(x,t) dá o deslocamento transverse de um ponto do meio situado na posição x no instante t.
O que exatamente é pedido:
Determinar o módulo (valor absoluto) da velocidade v_{v} associada ao movimento das partículas do meio que executam esse deslocamento y(x,t).
Passo 2
Entendendo o que é “velocidade associada”: quando uma partícula do meio em posição fixa x se move com deslocamento y(x,t), a velocidade dessa partícula no instante t é a derivada temporal do deslocamento, mantendo x fixo. Em notação isso é a derivada parcial
v_{v}(x,t)=\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}.
Comentário didático: usamos derivada parcial porque y depende de duas variáveis x e t. Para obter a velocidade da partícula em x tomamos a variação em t com x fixo.
Passo 3
Calculemos a derivada temporal de y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
A regra usada: a derivada temporal da função \sin(\varphi(t)) é \cos(\varphi(t)) vezes a derivada de \varphi(t). Aqui a fase é \varphi(x,t)=kx-\omega t. Derivando em relação a t com x constante obtemos \dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=-\omega. Portanto
Explicação da forma: o sinal negativo indica que, quando \cos(kx-\omega t) é positivo, a velocidade é negativa — isto é, a partícula se move no sentido negativo do eixo y; quando \cos é negativo, a velocidade é positiva. Isso é só direção; o módulo remove o sinal.
Observação útil para prova: o valor máximo possível do módulo ocorre quando \big|\cos(kx-\omega t)\big|=1. Assim o pico da velocidade (velocidade máxima das partículas) é
\big|v_{v}\big|_{\max}=A\omega.
Exemplo numérico rápido (para fixar): se A=0{,}01\\ \text{m} e f=50\\ \text{Hz} então \omega=2\pi f\approx 100\pi\\ \text{rad/s} e \big|v_{v}\big|_{\max}=A\omega\approx 0{,}01\cdot100\pi\approx \pi\\ \text{m/s} (aproximadamente 3{,}14\\ \text{m/s}). Dá para fazer conta simples sem calculadora se os números forem escolhidos simples.