EXERCÍCIO 08 - Projeto de conversor Ćuk em CCM (avançado)
Um conversor Ćuk deve fornecer uma tensão de saída negativa a partir de uma fonte positiva, para uma carga de potência moderada.
Dados:
- Tensão de entrada: Vi
- Tensão de saída desejada: Vo
- Potência na carga: Po
Tarefas:
a) Escolha (e justifique brevemente) um ciclo de trabalho
adequado e uma frequência de chaveamento f típica para este tipo de aplicação.
b) Determine os valores dos indutores L1 e L2 de modo que a variação de corrente (pico a pico) em cada um não seja maior que
de suas respectivas correntes médias. Considere operação em CCM.
c) Determine os valores dos capacitores:
- C2 (capacitor de saída) tal que a tensão de ondulação na saída
Vo não seja maior que
de
Vo
.
- C1 (capacitor de acoplamento) tal que a ondulação de tensão em C1 não ultrapasse
da sua tensão média.
d) Verifique se os valores escolhidos mantêm o conversor em CCM para toda a faixa de operação (corrente de saída e potência).
Um conversor Ćuk deve fornecer uma tensão de saída negativa a partir de uma fonte positiva, para uma carga de potência moderada.
a) Escolha (e justifique brevemente) um ciclo de trabalho
b) Determine os valores dos indutores L1 e L2 de modo que a variação de corrente (pico a pico) em cada um não seja maior que
c) Determine os valores dos capacitores:
d) Verifique se os valores escolhidos mantêm o conversor em CCM para toda a faixa de operação (corrente de saída e potência).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as tarefas listadas:
-
Dados do problema (pegos do enunciado):
- Tensão de entrada:
. - Tensão de saída desejada:
. - Potência na carga:
.
- Tensão de entrada:
-
O que o enunciado pede (resumindo as perguntas):
a) Escolher e justificar um ciclo de trabalhoadequado e uma frequência de chaveamento .
b) Determinare para que a ondulação de corrente (pico-a-pico) em cada indutor não ultrapasse da respectiva corrente média, assumindo CCM.
c) Determinar os capacitores:-
tal que . -
tal que .
d) Verificar se o conversor permanece em CCM para a faixa de operação (corrente/ potência dadas).
-
Observação: todas as contas serão feitas considerando um conversor Ćuk ideal (sem perdas) e operação em regime permanente. Vou explicar passo a passo as fórmulas usadas.
Passo 2
(a) Determinar o ciclo de trabalho
(fórmula e cálculo).
- Fórmula fundamental do conversor Ćuk ideal (relação de tensões DC):
Aqui a polaridade negativa aparece naturalmente.
- Resolver para
:
Substituindo
e
:
Daí
- Escolha da frequência
(justificativa, valor típico): - Para uma aplicação de potência moderada (potência dezenas de watts) costuma-se escolher frequências de chaveamento na faixa de algumas dezenas de kHz a algumas centenas de kHz para obter bom compromisso entre tamanho/ peso dos componentes passivos e perdas de comutação.
- Vou adotar uma frequência típica prática
(boa escolha para potência ~40 W: indutores e capacitores razoáveis, perda de comutação aceitável com transístor moderno). Essa escolha é justificável e você poderia ajustar para 50–200 kHz conforme restrições térmicas e de EMI.
Resumo deste passo:
-
. -
(escolha típica; justificação: compromisso entre tamanho dos passivos e perdas).
Passo 3
Cálculo das correntes médias (pré-requisito para dimensionar indutores):
- Corrente de saída (módulo):
- Em regime ideal a potência de entrada é igual à potência de saída, então corrente média de entrada:
Observação de orientação: para o Ćuk em estado estacionário a corrente média de
é
e a corrente média de
é
(valores positivos no sentido de vazão média relevante).
Passo 4
(b) Projeto dos indutores
e
com critério de ondulação máximo de
.
Conceito usado (explicação didática):
- Para um indutor com tensão constante durante um intervalo
, a variação de corrente (pico-a-pico) é
No comutador periódico,
é um fragmento do período
. No Ćuk os pulsos de tensão sobre cada indutor são diferentes nos dois estados (S ligado/desligado), mas a magnitude p–p resulta de uma expressão simples baseada no estado em que a variação ocorre. Em CCM a rampa que aumenta e a que diminui têm mesma área (volt-second balance).
Determinar as tensões aplicadas aos indutores durante cada subperíodo (resumo físico):
- Para
: - Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração
): . - Durante o tempo em que o interruptor está desligado (duração
): (note é negativo). - Pela volt-second balance
(confere com a relação de tensões). - A subida de corrente ocorre no intervalo em que
(duração ), logo a amplitude p–p:
- Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração
(igual alternativamente a
pela volt-second).
- Para
: - Calculando tensões que aparecem em
nos dois estados (esses valores podem ser obtidos a partir de ; aqui ): - Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração
): (no exemplo numérico; derivação formal mostrou que o módulo da rampa que reduz a corrente é por intervalo ). - Durante o tempo desligado (duração
): .
- Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração
- A amplitude p–p da corrente de
é (usando uma das expressões equivalentes obtidas por volt-second):
- Calculando tensões que aparecem em
Essas duas expressões são numericamente iguais porque
quando
.
Agora aplicamos o requisito de ondulação máxima
:
- Para
: corrente média . Tolerância: - Isolar
:
- Isolar
Substituindo números:
,
,
,
- Para
: corrente média . Tolerância: - Usando a expressão
e isolando:
- Usando a expressão
Resumo numérico desse passo:
-
. -
.
Passo 5
(c.1) Projeto de
(capacitor de saída) para limitar
.
Explicação da fórmula usada (didática):
- A ondulação de tensão de saída em um filtro LC com corrente triangular do indutor é comumente aproximada (pedagogicamente) por
onde
é a ondulação pico-a-pico do indutor
. Esta fórmula vem do fato de que a corrente triangular sobre o capacitor tem valor médio zero e a tensão tende a variar conforme a integral dessa corrente; para uma corrente triangular com amplitude
a componente de variação de carga por meio de um intervalo
resulta na constante
quando se considera o algoritmo do triângulo. (Se você quiser, posso detalhar a dedução geométrica da constante
; aqui uso a forma clássica de projeto.)
- Definimos a máxima ondulação permitida:
- Isolando
:
Substituindo
,
,
:
Escolha prática: escolhe-se um valor comercial com margem: por exemplo
(ou combinar capacitores para atingir baixa ESR/ESL se necessário).
Passo 6
(c.2) Projeto de
(capacitor de acoplamento) para limitar a ondulação em
a
da sua tensão média.
- Primeiro, tensão média em
(obtida antes):
- Limite de ondulação permitido:
- Agora a dedução física rápida (passo-a-passo):
- Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração
), a corrente no capacitor é . - Durante o intervalo em que o interruptor está desligado (duração
), a corrente no capacitor é . - A variação de tensão no capacitor durante o intervalo ligado (por exemplo) é
- Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração
- Para correntes indutivas triangulares a integral de
sobre é simplesmente (a parte AC integra a zero sobre o subintervalo considerado, como mostrado no desenvolvimento). Portanto:
- Como a variação p–p de
será igual a essa magnitude (a variação durante ON e durante OFF tem igual módulo e sinais opostos), exigimos
- Isolando
:
- Substituindo
, , , :
Escolha prática: arredondar para baixo com margem não é recomendável; escolhe-se um valor padrão com margem, por exemplo
(e com boa classe de capacitor para corrente AC, baixa ESR, p.ex. filme ou eletrolítico de baixa ESR dependendo do projeto).
Passo 7
(d) Verificação de operação em CCM (condição e números).
- Condição para CCM em cada indutor: a corrente mínima instantânea deve ser maior que zero. Com onda triangular simétrica, corrente mínima é
Se
então estamos em CCM.
-
Para
: -
. -
. -
-
-
Para
: -
. -
. -
-
Conclusão: com os valores projetados os dois indutores permanecem em CCM para a carga indicada (40 W). Há folga considerável: os mínimos estão bem acima de zero.
Comentário adicional (prático): o limite de corrente para entrada em DCM em
seria quando
(o que corresponderia a cerca de
de carga). Isso mostra que mesmo para cargas muito menores do que 40 W o conversor poderia ainda operar em CCM, dependendo dos valores exatos escolhidos e das perdas. Portanto, para a faixa prática ao redor da carga nominal dado, o CCM está assegurado.
Passo 8
Resumo prático e escolhas comerciais (pequena ajuda de projeto):
- Valores teóricos obtidos:
-
, . -
. -
. -
(escolha prática: para garantir margem e menor ESR). -
(escolha prática: com boa capacidade para corrente AC).
-
- Recomendações de projeto: use capacitores com baixa ESR para
e (especialmente carrega correntes AC significativas). Ao montar o conversor, verificar perdas, temperatura e corrente de pico no interruptor/diode e ajustar se necessário.
Resposta
a)
.
(escolha típica, compromisso entre tamanho dos passivos e perdas).
b) .
.
c) (usar comercial
como escolha prática).
(usar comercial
com baixa ESR).
d) Verificação CCM: com esses valores e
, logo o conversor opera em CCM para a carga indicada (40 W).
b)
c)
d) Verificação CCM: com esses valores