EXERCÍCIO 08 - Projeto de conversor Ćuk em CCM (avançado)
Um conversor Ćuk deve fornecer uma tensão de saída negativa a partir de uma fonte positiva, para uma carga de potência moderada.
Dados:
  • Tensão de entrada: Vi =12 \mathrm{~V}
  • Tensão de saída desejada: Vo =-18 \mathrm{~V}
  • Potência na carga: Po =40 \mathrm{~W}
Tarefas:
a) Escolha (e justifique brevemente) um ciclo de trabalho D adequado e uma frequência de chaveamento f típica para este tipo de aplicação.
b) Determine os valores dos indutores L1 e L2 de modo que a variação de corrente (pico a pico) em cada um não seja maior que 10 \% de suas respectivas correntes médias. Considere operação em CCM.
c) Determine os valores dos capacitores:
  • C2 (capacitor de saída) tal que a tensão de ondulação na saída \Delta Vo não seja maior que 1 \% de \mid Vo \mid.
  • C1 (capacitor de acoplamento) tal que a ondulação de tensão em C1 não ultrapasse 5 \% da sua tensão média.
    d) Verifique se os valores escolhidos mantêm o conversor em CCM para toda a faixa de operação (corrente de saída e potência).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as tarefas listadas:
  • Dados do problema (pegos do enunciado):
    • Tensão de entrada: \,V_i = 12\\ \text{V}.
    • Tensão de saída desejada: \,V_o = -18\\ \text{V}.
    • Potência na carga: \,P_o = 40\\ \text{W}.
  • O que o enunciado pede (resumindo as perguntas):
    a) Escolher e justificar um ciclo de trabalho D adequado e uma frequência de chaveamento f.
    b) Determinar L_1 e L_2 para que a ondulação de corrente (pico-a-pico) em cada indutor não ultrapasse 10\% da respectiva corrente média, assumindo CCM.
    c) Determinar os capacitores:
    • C_2 tal que \Delta V_o \le 1\%\cdot|V_o|.
    • C_1 tal que \Delta V_{C1} \le 5\%\cdot V_{C1,\text{média}}é.
      d) Verificar se o conversor permanece em CCM para a faixa de operação (corrente/ potência dadas).
Observação: todas as contas serão feitas considerando um conversor Ćuk ideal (sem perdas) e operação em regime permanente. Vou explicar passo a passo as fórmulas usadas.

Passo 2

(a) Determinar o ciclo de trabalho D (fórmula e cálculo).
  • Fórmula fundamental do conversor Ćuk ideal (relação de tensões DC):
\frac{V_o}{V_i} = -\frac{D}{1-D}.
Aqui a polaridade negativa aparece naturalmente.
  • Resolver para D:
-\frac{D}{1-D} = \frac{V_o}{V_i} \quad\Rightarrow\quad \frac{D}{1-D} = -\frac{V_o}{V_i}.
Substituindo V_o=-18\\ \text{V} e V_i=12\\ \text{V}:
\frac{D}{1-D} = -\frac{-18}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}.
Daí
D = \frac{3/2}{1+3/2} = \frac{3/2}{5/2} = \frac{3}{5} = 0{,}6.
  • Escolha da frequência f (justificativa, valor típico):
    • Para uma aplicação de potência moderada (potência dezenas de watts) costuma-se escolher frequências de chaveamento na faixa de algumas dezenas de kHz a algumas centenas de kHz para obter bom compromisso entre tamanho/ peso dos componentes passivos e perdas de comutação.
    • Vou adotar uma frequência típica prática f = 100\\ \text{kHz} (boa escolha para potência ~40 W: indutores e capacitores razoáveis, perda de comutação aceitável com transístor moderno). Essa escolha é justificável e você poderia ajustar para 50–200 kHz conforme restrições térmicas e de EMI.
Resumo deste passo:
  • \,D = 0{,}6.
  • \,f = 100\\ \text{kHz} (escolha típica; justificação: compromisso entre tamanho dos passivos e perdas).

Passo 3

Cálculo das correntes médias (pré-requisito para dimensionar indutores):
  • Corrente de saída (módulo):
I_o = \frac{P_o}{|V_o|} = \frac{40}{18} \approx 2{,}2222\\ \text{A}.
  • Em regime ideal a potência de entrada é igual à potência de saída, então corrente média de entrada:
I_i = \frac{P_o}{V_i} = \frac{40}{12} \approx 3{,}3333\\ \text{A}.
Observação de orientação: para o Ćuk em estado estacionário a corrente média de L_1 é I_{L1}=I_i e a corrente média de L_2 é I_{L2}=I_o (valores positivos no sentido de vazão média relevante).

Passo 4

(b) Projeto dos indutores L_1 e L_2 com critério de ondulação máximo de 10\%.
Conceito usado (explicação didática):
  • Para um indutor com tensão constante durante um intervalo \Delta t, a variação de corrente (pico-a-pico) é
\Delta i = \frac{v_L\cdot \Delta t}{L}.
No comutador periódico, \Delta t é um fragmento do período T=1/f. No Ćuk os pulsos de tensão sobre cada indutor são diferentes nos dois estados (S ligado/desligado), mas a magnitude p–p resulta de uma expressão simples baseada no estado em que a variação ocorre. Em CCM a rampa que aumenta e a que diminui têm mesma área (volt-second balance).
Determinar as tensões aplicadas aos indutores durante cada subperíodo (resumo físico):
  • Para L_1:
    • Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração D T): v_{L1} = V_i.
    • Durante o tempo em que o interruptor está desligado (duração (1-D)T): v_{L1} = V_o (note V_o é negativo).
    • Pela volt-second balance D V_i + (1-D) V_o = 0 (confere com a relação de tensões).
    • A subida de corrente ocorre no intervalo em que v_{L1}=V_i (duração D T), logo a amplitude p–p:
\Delta i_{L1} = \frac{V_i\cdot D T}{L_1}.
(igual alternativamente a \dfrac{|V_o|(1-D)T}{L_1} pela volt-second).
  • Para L_2:
    • Calculando tensões que aparecem em L_2 nos dois estados (esses valores podem ser obtidos a partir de V_c = V_i - V_o; aqui V_c = 12 - (-18) = 30\\ \text{V}):
      • Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração D T): v_{L2} = V_q - V_o = -12\\ \text{V} (no exemplo numérico; derivação formal mostrou que o módulo da rampa que reduz a corrente é 12\\ \text{V} por intervalo D T).
      • Durante o tempo desligado (duração (1-D)T): v_{L2} = +18\\ \text{V}.
    • A amplitude p–p da corrente de L_2 é (usando uma das expressões equivalentes obtidas por volt-second):
\Delta i_{L2} = \frac{12\cdot D T}{L_2} \;=\; \frac{18\cdot(1-D)T}{L_2}.
Essas duas expressões são numericamente iguais porque 12D = 18(1-D) quando D=0{,}6.
Agora aplicamos o requisito de ondulação máxima 10\%:
  • Para L_1: corrente média I_{L1}=I_i = 3{,}3333\\ \text{A}. Tolerância: \Delta i_{L1,\max}=0{,}1\cdot I_{L1}=0{,}33333\\ \text{A}.
    • Isolar L_1:
L_1 = \frac{V_i\cdot D T}{\Delta i_{L1}}.
Substituindo números: V_i=12\\ \text{V}, D=0{,}6, T=1/f = 1/(100\cdot 10^3)=10^{-5}\\ \text{s},
L_1 = \frac{12\cdot 0{,}6 \cdot 10^{-5}}{0{,}33333} = \frac{7{,}2\cdot 10^{-5}}{0{,}33333} \approx 2{,}16\cdot 10^{-4}\\ \text{H} = 216\\ \mu\text{H}.
  • Para L_2: corrente média I_{L2}=I_o = 2{,}2222\\ \text{A}. Tolerância: \Delta i_{L2,\max}=0{,}1\cdot I_{L2}=0{,}22222\\ \text{A}.
    • Usando a expressão \Delta i_{L2} = \dfrac{12\cdot D T}{L_2} e isolando:
L_2 = \frac{12\cdot D T}{\Delta i_{L2}} = \frac{7{,}2\cdot 10^{-5}}{0{,}22222} \approx 3{,}24\cdot 10^{-4}\\ \text{H} = 324\\ \mu\text{H}.
Resumo numérico desse passo:
  • \,L_1 \approx 216\\ \mu\text{H}.
  • \,L_2 \approx 324\\ \mu\text{H}.

Passo 5

(c.1) Projeto de C_2 (capacitor de saída) para limitar \Delta V_o \le 1\%\cdot |V_o|.
Explicação da fórmula usada (didática):
  • A ondulação de tensão de saída em um filtro LC com corrente triangular do indutor é comumente aproximada (pedagogicamente) por
\Delta V_o \approx \frac{\Delta I_{L2}}{8 f C_2},
onde \Delta I_{L2} é a ondulação pico-a-pico do indutor L_2. Esta fórmula vem do fato de que a corrente triangular sobre o capacitor tem valor médio zero e a tensão tende a variar conforme a integral dessa corrente; para uma corrente triangular com amplitude \Delta I a componente de variação de carga por meio de um intervalo 1/f resulta na constante 1/8 quando se considera o algoritmo do triângulo. (Se você quiser, posso detalhar a dedução geométrica da constante 1/8; aqui uso a forma clássica de projeto.)
  • Definimos a máxima ondulação permitida:
\Delta V_o^{\max} = 0{,}01\cdot |V_o| = 0{,}01\cdot 18 = 0{,}18\\ \text{V}.
  • Isolando C_2:
C_2 = \frac{\Delta I_{L2}}{8 f \Delta V_o^{\max}}.
Substituindo \Delta I_{L2}=0{,}22222\\ \text{A}, f=100\\ \text{kHz}, \Delta V_o^{\max}=0{,}18\\ \text{V}:
C_2 = \frac{0{,}22222}{8 \cdot 100000 \cdot 0{,}18} = \frac{0{,}22222}{144000} \approx 1{,}543\times 10^{-6}\\ \text{F} = 1{,}54\\ \mu\text{F}.
Escolha prática: escolhe-se um valor comercial com margem: por exemplo C_2 = 2{,}2\\ \mu\text{F} (ou combinar capacitores para atingir baixa ESR/ESL se necessário).

Passo 6

(c.2) Projeto de C_1 (capacitor de acoplamento) para limitar a ondulação em C_1 a 5\% da sua tensão média.
  • Primeiro, tensão média em C_1 (obtida antes):
V_{C1,\text{média}} = V_i - V_o = 12 - (-18) = 30\\ \text{V}.é
  • Limite de ondulação permitido:
\Delta V_{C1,\max} = 0{,}05 \cdot 30 = 1{,}5\\ \text{V}\\ (\text{pico-a-pico}).
  • Agora a dedução física rápida (passo-a-passo):
    • Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração D T), a corrente no capacitor é i_C = -i_{L2}.
    • Durante o intervalo em que o interruptor está desligado (duração (1-D)T), a corrente no capacitor é i_C = i_{L1}.
    • A variação de tensão no capacitor durante o intervalo ligado (por exemplo) é
\Delta V_{C1,\text{ON}} = -\frac{1}{C_1}\int_{0}^{D T} i_{L2}(t)\,dt.
  • Para correntes indutivas triangulares a integral de i_{L2}(t) sobre D T é simplesmente I_{L2}\cdot D T (a parte AC integra a zero sobre o subintervalo considerado, como mostrado no desenvolvimento). Portanto:
|\Delta V_{C1}| = \frac{I_{L2}\,D T}{C_1}.
  • Como a variação p–p de V_{C1} será igual a essa magnitude (a variação durante ON e durante OFF tem igual módulo e sinais opostos), exigimos
\frac{I_{L2}\,D}{C_1 f} \le \Delta V_{C1,\max}.
  • Isolando C_1:
C_1 \ge \frac{I_{L2}\,D}{f\,\Delta V_{C1,\max}}.
  • Substituindo I_{L2}=2{,}2222\\ \text{A}, D=0{,}6, f=100\\ \text{kHz}, \Delta V_{C1,\max}=1{,}5\\ \text{V}:
C_1 \ge \frac{2{,}2222\cdot 0{,}6}{100000\cdot 1{,}5} = \frac{1{,}33333}{150000} \approx 8{,}8889\times 10^{-6}\\ \text{F} = 8{,}89\\ \mu\text{F}.
Escolha prática: arredondar para baixo com margem não é recomendável; escolhe-se um valor padrão com margem, por exemplo C_1 = 10\\ \mu\text{F} (e com boa classe de capacitor para corrente AC, baixa ESR, p.ex. filme ou eletrolítico de baixa ESR dependendo do projeto).

Passo 7

(d) Verificação de operação em CCM (condição e números).
  • Condição para CCM em cada indutor: a corrente mínima instantânea deve ser maior que zero. Com onda triangular simétrica, corrente mínima é
I_{\min} = I_{\text{média}} - \frac{\Delta i}{2}.é
Se I_{\min} > 0 então estamos em CCM.
  • Para L_1:
    • I_{L1,\text{média}} = I_i = 3{,}3333\\ \text{A}é.
    • \Delta i_{L1} = 0{,}33333\\ \text{A}.
    • I_{L1,\min} = 3{,}3333 - 0{,}33333/2 = 3{,}3333 - 0{,}16667 = 3{,}1667\\ \text{A} > 0.
  • Para L_2:
    • I_{L2,\text{média}} = I_o = 2{,}2222\\ \text{A}é.
    • \Delta i_{L2} = 0{,}22222\\ \text{A}.
    • I_{L2,\min} = 2{,}2222 - 0{,}22222/2 = 2{,}2222 - 0{,}11111 = 2{,}1111\\ \text{A} > 0.
Conclusão: com os valores projetados os dois indutores permanecem em CCM para a carga indicada (40 W). Há folga considerável: os mínimos estão bem acima de zero.
Comentário adicional (prático): o limite de corrente para entrada em DCM em L_2 seria quando I_{L2,\text{média}} = \Delta i_{L2}/2 \approx 0{,}1111\\ \text{A}é (o que corresponderia a cerca de 2\\ \text{W} de carga). Isso mostra que mesmo para cargas muito menores do que 40 W o conversor poderia ainda operar em CCM, dependendo dos valores exatos escolhidos e das perdas. Portanto, para a faixa prática ao redor da carga nominal dado, o CCM está assegurado.

Passo 8

Resumo prático e escolhas comerciais (pequena ajuda de projeto):
  • Valores teóricos obtidos:
    • D = 0{,}6, f = 100\\ \text{kHz}.
    • L_1 \approx 216\\ \mu\text{H}.
    • L_2 \approx 324\\ \mu\text{H}.
    • C_2 \approx 1{,}54\\ \mu\text{F} (escolha prática: 2{,}2\\ \mu\text{F} para garantir margem e menor ESR).
    • C_1 \approx 8{,}89\\ \mu\text{F} (escolha prática: 10\\ \mu\text{F} com boa capacidade para corrente AC).
  • Recomendações de projeto: use capacitores com baixa ESR para C_1 e C_2 (especialmente C_1 carrega correntes AC significativas). Ao montar o conversor, verificar perdas, temperatura e corrente de pico no interruptor/diode e ajustar f se necessário.

Resposta

a) D = 0{,}6. f = 100\\ \text{kHz} (escolha típica, compromisso entre tamanho dos passivos e perdas).
b) L_1 \approx 216\\ \mu\text{H}. L_2 \approx 324\\ \mu\text{H}.
c) C_2 \approx 1{,}54\\ \mu\text{F} (usar comercial 2{,}2\\ \mu\text{F} como escolha prática).
C_1 \approx 8{,}89\\ \mu\text{F} (usar comercial 10\\ \mu\text{F} com baixa ESR).
d) Verificação CCM: com esses valores I_{L1,\min}\approx 3{,}167\\ \text{A}>0 e I_{L2,\min}\approx 2{,}111\\ \text{A}>0, logo o conversor opera em CCM para a carga indicada (40 W).

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