Exercício 09: Calcule as seguintes raízes:
a) \sqrt[3]{i} Resposta: \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i, \frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i,-i
b) \sqrt[4]{-1+i \sqrt{3}} Resposta : \pm \frac{-1+i \sqrt{3}}{\sqrt[4]{8}}, \pm \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt[4]{8}}
c) \sqrt{-7-24 i} Resposta : 3-4 i,-3+4 i
d) \sqrt[3]{8} Resposta : 2,-1+i \sqrt{3},-1-i \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as raízes indicadas nas quatro parcelas:
a) as raízes cúbicas de \,i\,;
b) as raízes quartas de -1 + i\sqrt{3};
c) as raízes quadradas de -7 - 24i;
d) as raízes cúbicas de 8.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Números complexos a serem radiciados: i, -1+i\sqrt{3}, -7-24i, 8.
  • Para cada caso devo fornecer todas as raízes (respectivamente 3, 4, 2 e 3 raízes).

Passo 2

Vou usar duas técnicas que precisam ficar bem claras:
  1. Método geral para raízes n-ésimas de um complexo (forma polar / fórmula de De Moivre):
    Se z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta} com r>0 e \theta um argumento de z, então as n raízes w tais que w^n = z são
w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \quad\text{para } k=0,1,\dots,n-1.
Aqui r^{1/n} é a raiz real positiva do módulo r, e o termo (\theta+2k\pi)/n dá os argumentos distintos (espalhados igualmente). Em notação trigonométrica,
w_k = r^{1/n}\big(\cos\big(\tfrac{\theta+2k\pi}{n}\big) + i\sin\big(\tfrac{\theta+2k\pi}{n}\big)\big).
Vou aplicar isso nas partes (a), (b) e (d).
  1. Método algébrico para raízes quadradas (opção prática para (c)):
    Se eu quero \sqrt{a+ib} e procuro x+iy tal que (x+iy)^2 = a+ib, então
x^2 - y^2 = a,\qquad 2xy = b.
Além disso, (x^2+y^2)^2 = a^2 + b^2, então eu uso isso para achar x^2+y^2, em seguida x^2 e y^2, e por fim o sinal de x e y obedecendo 2xy=b.
Vou aplicar essas ideias passo a passo nos itens.

Passo 3

Parte (a): calcular \sqrt[3]{i}.
Primeiro escrevo i em forma polar. O módulo de i é r=1. Um argumento conveniente é \theta=\tfrac{\pi}{2} (porque i=\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}). Logo i = 1\cdot e^{i\pi/2}.
Pela fórmula das raízes cúbicas ( n=3),
w_k = 1^{1/3} e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)/3} = e^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3})},\qquad k=0,1,2.
Agora calculo cada k:
  • Para k=0: ângulo \frac{\pi}{6}. Então
w_0 = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i.
  • Para k=1: ângulo \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}. Então
w_1 = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i.
  • Para k=2: ângulo \frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}=\frac{9\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}. Então
w_2 = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = 0 - i = -i.
Portanto as três raízes cúbicas de i são os três valores listados acima.

Passo 4

Parte (b): calcular \sqrt[4]{-1+i\sqrt{3}}.
Primeiro coloco z=-1+i\sqrt{3} em forma polar.
  • Módulo:
r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2.
  • Argumento: o ponto (-1,\sqrt{3}) está no segundo quadrante; a tangente absoluta é |\tan\theta|=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}, cujo ângulo associado é \pi/3. No segundo quadrante o argumento é
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Logo z = 2 e^{i 2\pi/3}.
Agora aplico a fórmula para n=4:
w_k = 2^{1/4} e^{i(\frac{2\pi}{3}+2k\pi)/4} = 2^{1/4} e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2})},\qquad k=0,1,2,3.
Os quatro ângulos são
\frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3},\quad \frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\quad \frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}=\frac{11\pi}{6}.
Logo as raízes em forma trigonométrica são
2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\; 2^{1/4}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right),\; 2^{1/4}\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right),\; 2^{1/4}\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right).
Para relacionar com as formas fornecidas na resposta, observo que \sqrt[4]{8}=8^{1/4}=2^{3/4}. Note que os números -1+i\sqrt{3} e \sqrt{3}+i têm módulo 2 e argumentos \frac{2\pi}{3} e \frac{\pi}{6} respectivamente. Assim
\frac{-1+i\sqrt{3}}{\sqrt[4]{8}}=\frac{2e^{i2\pi/3}}{2^{3/4}}=2^{1/4}e^{i2\pi/3}, \qquad \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt[4]{8}}=\frac{2e^{i\pi/6}}{2^{3/4}}=2^{1/4}e^{i\pi/6}.
As outras duas raízes são os opostos desses (multiplicar por -1 corresponde a somar \pi ao argumento), daí as quatro raízes podem ser escritas como
\pm\frac{-1+i\sqrt{3}}{\sqrt[4]{8}},\qquad \pm\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt[4]{8}}.

Passo 5

Parte (c): calcular \sqrt{-7-24i} pelo método algébrico.
Procuro x+iy tal que
(x+iy)^2 = -7 - 24i.
Expandindo,
x^2 - y^2 + 2ixy = -7 - 24i.
Igualando partes real e imaginária:
x^2 - y^2 = -7,\qquad 2xy = -24 \Rightarrow xy = -12.
Uso a identidade (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + (2xy)^2. Calculando o módulo do número dado:
(-7)^2 + (-24)^2 = 49 + 576 = 625.
Então
(x^2+y^2)^2 = 625 \Rightarrow x^2+y^2 = 25 \quad(\text{escolhemos a raiz positiva}).
Agora resolvo o sistema
x^2+y^2 = 25, \qquad x^2 - y^2 = -7.
Somando as duas equações:
2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.
Como xy = -12, se x=3 então y=-4; se x=-3 então y=4.
Portanto as duas raízes quadradas são
3 - 4i \quad\text{e}\quad -3 + 4i.

Passo 6

Parte (d): calcular \sqrt[3]{8}.
Escrevo 8 em forma polar. 8 é real e positivo, então 8 = 8 e^{i0} (argumento principal 0).
Pela fórmula das raízes cúbicas ( n=3),
w_k = 8^{1/3} e^{i(0+2k\pi)/3} = 2 e^{i 2k\pi/3},\qquad k=0,1,2.
Agora avalio:
  • Para k=0: w_0 = 2 e^{i0} = 2.
  • Para k=1: w_1 = 2 e^{i 2\pi/3} = 2\big(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\big) = -1 + i\sqrt{3}.
  • Para k=2: w_2 = 2 e^{i 4\pi/3} = 2\big(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\big) = -1 - i\sqrt{3}.
Assim obtenho as três raízes cúbicas listadas.

Resposta

a) \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\; -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\; -i
b) \pm \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{\sqrt[4]{8}},\; \pm \dfrac{\sqrt{3}+i}{\sqrt[4]{8}}
c) 3-4i,\; -3+4i
d) 2,\; -1+i\sqrt{3},\; -1-i\sqrt{3}

Exercícios relacionados