Exercício 09: Calcule as seguintes raízes:
a)
Resposta:
b)
Resposta :
c)
Resposta :
d)
Resposta :
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as raízes indicadas nas quatro parcelas:
a) as raízes cúbicas de ;
b) as raízes quartas de ;
c) as raízes quadradas de ;
d) as raízes cúbicas de .
a) as raízes cúbicas de
b) as raízes quartas de
c) as raízes quadradas de
d) as raízes cúbicas de
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Números complexos a serem radiciados:
, , , . - Para cada caso devo fornecer todas as raízes (respectivamente 3, 4, 2 e 3 raízes).
Passo 2
Vou usar duas técnicas que precisam ficar bem claras:
- Método geral para raízes
-ésimas de um complexo (forma polar / fórmula de De Moivre):
Secom e um argumento de , então as raízes tais que são
Aqui
é a raiz real positiva do módulo
, e o termo
dá os argumentos distintos (espalhados igualmente). Em notação trigonométrica,
Vou aplicar isso nas partes (a), (b) e (d).
- Método algébrico para raízes quadradas (opção prática para (c)):
Se eu queroe procuro tal que , então
Além disso,
, então eu uso isso para achar
, em seguida
e
, e por fim o sinal de
e
obedecendo
.
Vou aplicar essas ideias passo a passo nos itens.
Passo 3
Parte (a): calcular
.
Primeiro escrevo
em forma polar. O módulo de
é
. Um argumento conveniente é
(porque
). Logo
.
Pela fórmula das raízes cúbicas (
),
Agora calculo cada
:
- Para
: ângulo . Então
- Para
: ângulo . Então
- Para
: ângulo . Então
Portanto as três raízes cúbicas de
são os três valores listados acima.
Passo 4
Parte (b): calcular
.
Primeiro coloco
em forma polar.
- Módulo:
- Argumento: o ponto
está no segundo quadrante; a tangente absoluta é , cujo ângulo associado é . No segundo quadrante o argumento é
Logo
.
Agora aplico a fórmula para
:
Os quatro ângulos são
Logo as raízes em forma trigonométrica são
Para relacionar com as formas fornecidas na resposta, observo que
. Note que os números
e
têm módulo
e argumentos
e
respectivamente. Assim
As outras duas raízes são os opostos desses (multiplicar por
corresponde a somar
ao argumento), daí as quatro raízes podem ser escritas como
Passo 5
Parte (c): calcular
pelo método algébrico.
Procuro
tal que
Expandindo,
Igualando partes real e imaginária:
Uso a identidade
. Calculando o módulo do número dado:
Então
Agora resolvo o sistema
Somando as duas equações:
Como
, se
então
; se
então
.
Portanto as duas raízes quadradas são
Passo 6
Parte (d): calcular
.
Escrevo
em forma polar.
é real e positivo, então
(argumento principal
).
Pela fórmula das raízes cúbicas (
),
Agora avalio:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Assim obtenho as três raízes cúbicas listadas.
Resposta
a)
b)
c)
d)