Em cada parte, encontre a equação característica da matriz.
(a) \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & -5 \\\ \frac{1}{5} & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\\\ -6 & -2 & 0 \\\\ 19 & 5 & -4\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ -4 & 13 & -1\end{array}\right]
(e) \left[\begin{array}{rrr}5 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ -7 & 1 & 0\end{array}\right]
(f) \left[\begin{array}{rrr}5 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & -8 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: para cada matriz listada, encontrar a equação característica, isto é, o polinômio característico dado por \det(A-\lambda I)=0. As matrizes fornecidas são:
(a) A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix}
(b) A=\begin{pmatrix}3 & 0 & -5 \\\ \tfrac{1}{5} & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix}
(c) A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1 \\\\ -6 & -2 & 0 \\\\ 19 & 5 & -4\end{pmatrix}
(d) A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ -4 & 13 & -1\end{pmatrix}
(e) A=\begin{pmatrix}5 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ -7 & 1 & 0\end{pmatrix}
(f) A=\begin{pmatrix}5 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & -8 \\\\ 1 & 0 & -2\end{pmatrix}
As informações relevantes são as entradas de cada matriz: com elas vamos formar A-\lambda I e calcular \det(A-\lambda I).

Passo 2

O que é a equação característica e como calcular? A equação característica de uma matriz quadrada A é o polinômio \det(A-\lambda I) em \lambda. Para uma matriz 3\times3,
seja
A-\lambda I=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}.
A fórmula para o determinante 3×3 que vamos usar (expansão pela primeira linha) é
\det(A-\lambda I)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Vou aplicar essa fórmula em cada caso, mostrando passo a passo como substituir as entradas e simplificar.

Passo 3

Caso (a): primeiro calculemos A-\lambda I.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & 0 & 1 \\\\ -2 & 1-\lambda & 0 \\\\ -2 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 4

Caso (a): calcule \det(A-\lambda I) usando a fórmula 3×3.
Aplicando a fórmula:
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)\big((1-\lambda)(1-\lambda)-0\cdot0\big)-0\big(\cdots\big)+1\big((-2)\cdot0-(1-\lambda)(-2)\big).
Simplificando cada termo:
(4-\lambda)(1-\lambda)^2 + 1\big(0 +2(1-\lambda)\big).
Colocando em evidência (1-\lambda):
(1-\lambda)\big((4-\lambda)(1-\lambda)+2\big).
Expandindo (4-\lambda)(1-\lambda)=4-5\lambda+\lambda^2 e somando 2 6-5\lambda+\lambda^2. Logo
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+6).
Fatorando o quadrático \lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3), obtemos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-3).

Passo 5

Caso (b): primeiro calculemos A-\lambda I.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 & -5 \\\ \tfrac{1}{5} & -1-\lambda & 0 \\\\ 1 & 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 6

Caso (b): calcule \det(A-\lambda I) com a fórmula.
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)\big((-1-\lambda)(-2-\lambda)-0\cdot1\big)-0(\cdots)+(-5)\big(\tfrac{1}{5}\cdot1-(-1-\lambda)\cdot1\big).
Simplificando os fatores: (-1-\lambda)(-2-\lambda)=(\lambda+1)(\lambda+2). O terceiro termo interno é \tfrac{1}{5}+1+\lambda=\lambda+\tfrac{6}{5}. Portanto
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(\lambda+1)(\lambda+2)-5\big(\lambda+\tfrac{6}{5}\big).
O último produto é -5\big(\lambda+\tfrac{6}{5}\big)=-5\lambda-6. Expandindo (3-\lambda)(\lambda^2+3\lambda+2) temos -\lambda^3+7\lambda+6. Subtraindo 5\lambda+6 obtemos
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda.
Colocando em evidência -\lambda:
\det(A-\lambda I)=-\lambda(\lambda^2-2).

Passo 7

Caso (c): primeiro calculemos A-\lambda I.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-2-\lambda & 0 & 1 \\\\ -6 & -2-\lambda & 0 \\\\ 19 & 5 & -4-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 8

Caso (c): calcule \det(A-\lambda I).
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)\big((-2-\lambda)(-4-\lambda)-0\cdot5\big)-0(\cdots)+1\big((-6)\cdot5-(-2-\lambda)\cdot19\big).
Note que (-2-\lambda)(-4-\lambda)=(\lambda+2)(\lambda+4). O primeiro fator tem um sinal (-2-\lambda)=-(\lambda+2), então o produto inicial é -(\lambda+2)^2(\lambda+4). O terceiro termo calcula-se assim: -30-(-19\lambda-38)=19\lambda+8. Portanto
\det(A-\lambda I)=-(\lambda+2)^2(\lambda+4)+19\lambda+8.
Expandindo e simplificando obtemos
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-8\lambda^2-\lambda-8 = -(\lambda+8)(\lambda^2+1).

Passo 9

Caso (d): primeiro calculemos A-\lambda I.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0 & 1 \\\\ -1 & 3-\lambda & 0 \\\\ -4 & 13 & -1-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 10

Caso (d): calcule \det(A-\lambda I).
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)\big((3-\lambda)(-1-\lambda)-0\cdot13\big)-0(\cdots)+1\big((-1)\cdot13-(3-\lambda)(-4)\big).
Observe (-1-\lambda)=-(1+\lambda) e (3-\lambda)(-1-\lambda)=-(3-\lambda)(1+\lambda), portanto o primeiro produto fica (1+\lambda)^2(3-\lambda). O terceiro termo é -13+4(3-\lambda)=-1-4\lambda. Assim
\det(A-\lambda I)=(1+\lambda)^2(3-\lambda)-1-4\lambda.
Expandindo e simplificando resulta
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda+2 = -\big(\lambda^3-\lambda^2-\lambda-2\big).
Fatorizando o polinômio cúbico interno pelo teste \lambda=2 obtemos \lambda^3-\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda^2+\lambda+1). Portanto
\det(A-\lambda I)=-(\lambda-2)(\lambda^2+\lambda+1).

Passo 11

Caso (e): primeiro calculemos A-\lambda I.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 0 & 1 \\\\ 1 & 1-\lambda & 0 \\\\ -7 & 1 & -\lambda\end{pmatrix}.

Passo 12

Caso (e): calcule \det(A-\lambda I).
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)\big((1-\lambda)(-\lambda)-0\cdot1\big)-0(\cdots)+1\big(1\cdot1-(1-\lambda)(-7)\big).
O primeiro termo é -(5-\lambda)\lambda(1-\lambda). O terceiro termo é 1+7(1-\lambda)=8-7\lambda. Logo
\det(A-\lambda I)=-(5-\lambda)\lambda(1-\lambda)+8-7\lambda.
Expandindo e simplificando obtemos
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+6\lambda^2-12\lambda+8 = -\big(\lambda^3-6\lambda^2+12\lambda-8\big).
Reconhecemos \lambda^3-6\lambda^2+12\lambda-8=(\lambda-2)^3. Assim
\det(A-\lambda I)=-(\lambda-2)^3.

Passo 13

Caso (f): primeiro calculemos A-\lambda I.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 6 & 2 \\\\ 0 & -1-\lambda & -8 \\\\ 1 & 0 & -2-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 14

Caso (f): calcule \det(A-\lambda I).
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)\big((-1-\lambda)(-2-\lambda)-(-8)\cdot0\big)-6\big(0\cdot(-2-\lambda)-(-8)\cdot1\big)
\qquad+2\big(0\cdot0-(-1-\lambda)\cdot1\big).
Simplificando: (-1-\lambda)(-2-\lambda)=(\lambda+1)(\lambda+2). O segundo termo é -6(8)=-48. O terceiro termo é 2(1+\lambda)=2+2\lambda. Assim
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(\lambda+1)(\lambda+2)-48+2+2\lambda.
Expandindo (5-\lambda)(\lambda^2+3\lambda+2)=-\lambda^3+2\lambda^2+13\lambda+10 e somando -46+2\lambda
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda^2+15\lambda-36.
Fatorizando o cúbico interno: \lambda^3-2\lambda^2-15\lambda+36=(\lambda-3)^2(\lambda+4), então
\det(A-\lambda I)=-(\lambda-3)^2(\lambda+4).

Resposta

(a) (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-3)
(b) -\lambda(\lambda^2-2)
(c) -(\lambda+8)(\lambda^2+1)
(d) -(\lambda-2)(\lambda^2+\lambda+1)
(e) -(\lambda-2)^3
(f) -(\lambda-3)^2(\lambda+4)

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