O enunciado pede: para cada matriz listada, encontrar a equação característica, isto é, o polinômio característico dado por \det(A-\lambda I)=0. As matrizes fornecidas são:
As informações relevantes são as entradas de cada matriz: com elas vamos formar A-\lambda I e calcular \det(A-\lambda I).
Passo 2
O que é a equação característica e como calcular? A equação característica de uma matriz quadrada A é o polinômio \det(A-\lambda I) em \lambda. Para uma matriz 3\times3,
seja
Simplificando os fatores: (-1-\lambda)(-2-\lambda)=(\lambda+1)(\lambda+2). O terceiro termo interno é \tfrac{1}{5}+1+\lambda=\lambda+\tfrac{6}{5}. Portanto
O último produto é -5\big(\lambda+\tfrac{6}{5}\big)=-5\lambda-6. Expandindo (3-\lambda)(\lambda^2+3\lambda+2) temos -\lambda^3+7\lambda+6. Subtraindo 5\lambda+6 obtemos
Note que (-2-\lambda)(-4-\lambda)=(\lambda+2)(\lambda+4). O primeiro fator tem um sinal (-2-\lambda)=-(\lambda+2), então o produto inicial é -(\lambda+2)^2(\lambda+4). O terceiro termo calcula-se assim: -30-(-19\lambda-38)=19\lambda+8. Portanto
Observe (-1-\lambda)=-(1+\lambda) e (3-\lambda)(-1-\lambda)=-(3-\lambda)(1+\lambda), portanto o primeiro produto fica (1+\lambda)^2(3-\lambda). O terceiro termo é -13+4(3-\lambda)=-1-4\lambda. Assim