Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que \mathbf{x} é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente.
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right] ; \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que confirmemos por multiplicação que \mathbf{x} é um autovetor da matriz A e que encontremos o autovalor correspondente.
Dados fornecidos:
A = \begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] -1 & -1 & 2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembra do que é autovetor/autovalor: um vetor não nulo \mathbf{v} é autovetor de A se existe um escalar \lambda tal que
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
Nossa tarefa é calcular A\mathbf{x} e ver se o resultado é um múltiplo escalar de \mathbf{x}. Se for, esse escalar é o autovalor \lambda.

Passo 3

Vamos escrever a multiplicação matricial que precisamos fazer:
A\mathbf{x} = \begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] -1 & -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Aqui cada entrada do vetor resultado é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{x}. Vou calcular componente a componente.]

Passo 4

Cálculo da primeira componente (linha 1 de A dot \mathbf{x}):
2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = 2 - 1 - 1 = 0.
Cálculo da segunda componente (linha 2 de A dot \mathbf{x}):
(-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = -1 + 2 - 1 = 0.
Cálculo da terceira componente (linha 3 de A dot \mathbf{x}):
(-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 = -1 - 1 + 2 = 0.
Portanto
A\mathbf{x} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

O vetor \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} é igual ao múltiplo escalar 0 vezes \mathbf{x}, ou seja
A\mathbf{x} = 0\cdot \mathbf{x}.
Como \mathbf{x} é não nulo, isso significa que \mathbf{x} é um autovetor de A com autovalor \lambda=0.

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre que uma matriz tiver linhas cuja soma é zero, o vetor de todos uns \begin{pmatrix}1\\\ 1\\dots\\\ 1\end{pmatrix} será um autovetor com autovalor 0. Aqui cada linha de A soma 2-1-1=0, por isso o resultado acima era imediato. Isso economiza tempo — basta checar a soma das linhas em vez de calcular todas as componentes se o vetor testado for o de uns.

Resposta

\mathbf{x} é autovetor de A com autovalor \lambda=0

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