Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que \mathbf{x} é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente. A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right] ; \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede que confirmemos por multiplicação que \mathbf{x} é um autovetor da matriz A e que encontremos o autovalor correspondente.
Dados fornecidos:
Aqui cada entrada do vetor resultado é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{x}. Vou calcular componente a componente.]
Passo 4
Cálculo da primeira componente (linha 1 de A dot \mathbf{x}):
O vetor \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} é igual ao múltiplo escalar 0 vezes \mathbf{x}, ou seja
A\mathbf{x} = 0\cdot \mathbf{x}.
Como \mathbf{x} é não nulo, isso significa que \mathbf{x} é um autovetor de A com autovalor \lambda=0.
Passo 6
Dica rápida para a prova: sempre que uma matriz tiver linhas cuja soma é zero, o vetor de todos uns \begin{pmatrix}1\\\ 1\\dots\\\ 1\end{pmatrix} será um autovetor com autovalor 0. Aqui cada linha de A soma 2-1-1=0, por isso o resultado acima era imediato. Isso economiza tempo — basta checar a soma das linhas em vez de calcular todas as componentes se o vetor testado for o de uns.
Resposta
\mathbf{x} é autovetor de A com autovalor \lambda=0