Exercício 09: Demonstre que as seguintes proposições são contingentes:
((p \wedge \neg p) \vee q) \wedge(\neg q \wedge \neg r)

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar se a proposição abaixo é contingente (isto é, se existe alguma atribuição de verdade que a torna verdadeira e alguma que a torna falsa):
((p \wedge \neg p) \vee q) \wedge(\neg q \wedge \neg r).
Informações dadas:
  • As variáveis proposicionais são p, q e r.
  • O objetivo é decidir se a fórmula é contingente (tem pelo menos uma valuation que dá verdadeiro e pelo menos uma que dá falso) ou não.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): vou usar equivalências lógicas básicas para simplificar a fórmula passo a passo — isso é rápido e forte — e depois farei uma checagem por casos simples para convencer que a simplificação está correta. Não vou assumir que se sabe as propriedades: vou explicá‑las quando usadas.

Passo 3

Rápida revisão das conectivas e suas ideias (com exemplos):
  • \neg é negação: \neg A é verdadeiro quando A é falso, e falso quando A é verdadeiro.
  • \wedge é conjunção (“e”): A\wedge B é verdadeiro só quando A e B são ambos verdadeiros; caso contrário é falso.
  • \vee é disjunção (“ou”): A\vee B é verdadeiro quando pelo menos um entre A e B é verdadeiro; é falso apenas quando ambos são falsos.
Exemplo mini‑tabela para uma variável p:
\begin{array}{c|c} p & p\wedge\neg p\\hline \text{V} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{F} \end{array}
Isso já mostra algo importante sobre p\wedge\neg p (ver próximo passo).

Passo 4

Mostrar que \,p \wedge \neg p é sempre falso (é uma contradição):
  • Se p é verdadeiro, então \neg p é falso, logo p\wedge\neg p é falso (porque conjunção precisa dos dois verdadeiros).
  • Se p é falso, então \neg p é verdadeiro, mas ainda assim p\wedge\neg p é falso (porque p é falso).
    Portanto, para qualquer valor de p,
p \wedge \neg p \equiv \bot,
onde \bot denota a proposição sempre falsa.

Passo 5

Usar a equivalência anterior na fórmula. Substituindo \,p\wedge\neg p por \bot em
((p \wedge \neg p) \vee q) \wedge(\neg q \wedge \neg r),
obtemos
(\bot \vee q) \wedge(\neg q \wedge \neg r).

Passo 6

Aplicar a lei da identidade da disjunção: \bot \vee q \equiv q. Assim a expressão vira
q \wedge(\neg q \wedge \neg r).

Passo 7

Reorganizar usando associatividade/ comutatividade da conjunção (apenas para ver o padrão):
q \wedge(\neg q \wedge \neg r) \equiv (q \wedge \neg q) \wedge \neg r.
Mas q \wedge \neg q é, pelo mesmo raciocínio do Passo 4, uma contradição: q \wedge \neg q \equiv \bot. Substituindo,
(q \wedge \neg q) \wedge \neg r \equiv \bot \wedge \neg r.
E toda conjunção com \bot é \bot, pois \bot já é sempre falsa. Logo
\bot \wedge \neg r \equiv \bot.

Passo 8

Interpretação por casos (checagem rápida, sem tabela completa):
  • Se q é verdadeiro, então \neg q é falso, e a conjunção \neg q \wedge \neg r é falsa; assim o produto com q dá falso.
  • Se q é falso, então q \wedge(\dots) já é falso.
    Em ambos os casos a fórmula vale falso, independentemente de p e r. Isso confirma que a simplificação até \bot está correta.

Passo 9

Conclusão didática: a fórmula dada reduz-se logicamente à proposição sempre falsa ( \bot), isto é, é uma contradição (insatisfatível). Uma proposição contingente precisa ser verdadeira em alguma valuation e falsa em outra; aqui não existe valuation que a torne verdadeira. Portanto a proposição NÃO é contingente.

Resposta

A proposição é uma contradição (sempre falsa), logo não é contingente.

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