Exercício 09: Demonstre que as seguintes proposições são contingentes:
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar se a proposição abaixo é contingente (isto é, se existe alguma atribuição de verdade que a torna verdadeira e alguma que a torna falsa):
Informações dadas:
- As variáveis proposicionais são
, e . - O objetivo é decidir se a fórmula é contingente (tem pelo menos uma valuation que dá verdadeiro e pelo menos uma que dá falso) ou não.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): vou usar equivalências lógicas básicas para simplificar a fórmula passo a passo — isso é rápido e forte — e depois farei uma checagem por casos simples para convencer que a simplificação está correta. Não vou assumir que se sabe as propriedades: vou explicá‑las quando usadas.
Passo 3
Rápida revisão das conectivas e suas ideias (com exemplos):
-
é negação: é verdadeiro quando é falso, e falso quando é verdadeiro. -
é conjunção (“e”): é verdadeiro só quando e são ambos verdadeiros; caso contrário é falso. -
é disjunção (“ou”): é verdadeiro quando pelo menos um entre e é verdadeiro; é falso apenas quando ambos são falsos.
Exemplo mini‑tabela para uma variável
:
Isso já mostra algo importante sobre
(ver próximo passo).
Passo 4
Mostrar que
é sempre falso (é uma contradição):
- Se
é verdadeiro, então é falso, logo é falso (porque conjunção precisa dos dois verdadeiros). - Se
é falso, então é verdadeiro, mas ainda assim é falso (porque é falso).
Portanto, para qualquer valor de,
onde
denota a proposição sempre falsa.
Passo 5
Usar a equivalência anterior na fórmula. Substituindo
por
em
obtemos
Passo 6
Aplicar a lei da identidade da disjunção:
. Assim a expressão vira
Passo 7
Reorganizar usando associatividade/ comutatividade da conjunção (apenas para ver o padrão):
Mas
é, pelo mesmo raciocínio do Passo 4, uma contradição:
. Substituindo,
E toda conjunção com
é
, pois
já é sempre falsa. Logo
Passo 8
Interpretação por casos (checagem rápida, sem tabela completa):
- Se
é verdadeiro, então é falso, e a conjunção é falsa; assim o produto com dá falso. - Se
é falso, então já é falso.
Em ambos os casos a fórmula vale falso, independentemente dee . Isso confirma que a simplificação até está correta.
Passo 9
Conclusão didática: a fórmula dada reduz-se logicamente à proposição sempre falsa (
), isto é, é uma contradição (insatisfatível). Uma proposição contingente precisa ser verdadeira em alguma valuation e falsa em outra; aqui não existe valuation que a torne verdadeira. Portanto a proposição NÃO é contingente.
Resposta
A proposição é uma contradição (sempre falsa), logo não é contingente.