Exercício 11: Demonstre pela tabela-verdade a equivalência
. (Esaa equivaléncia exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à disjunçāo.
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre, por meio de tabela-verdade, a equivalência
Ou seja: construir a tabela-verdade das duas fórmulas (à esquerda e à direita) e mostrar que, para todas as combinações possíveis de verdade de
, as duas fórmulas têm o mesmo valor lógico.
Passo 2
Vamos revisar os operadores e como montar a tabela-verdade (pequena aula prática).
- A disjunção
vale (verdadeiro) sempre que pelo menos uma das proposições ou for ; só é quando e . - A condicional
vale apenas quando e ; em todos os outros casos vale . Intuitivamente: "se então " só é violada quando ocorre e não ocorre. - Para provar equivalência por tabela-verdade, listamos todas as combinações de valores de
(são linhas) e calculamos os valores de cada subfórmula; se as duas colunas finais coincidirem em todas as linhas, as fórmulas são logicamente equivalentes.
Passo 3
Organizaremos a tabela com colunas para
, para a disjunção
, para a condicional
, para
, para
e finalmente para
. Vamos enumerar as
linhas com todas as combinações possíveis de
.
Passo 4
Aqui está a tabela-verdade (cada linha mostra uma combinação de
e os valores das subfórmulas):
Observações rápidas sobre como calculei algumas entradas:
- Nas linhas onde
, qualquer condicional é (regra da implicação). - Na linha com
a disjunção é , então é ; e também e são , portanto a disjunção das duas é .
Passo 5
Comparando as colunas de
e de
linha a linha na tabela acima, vemos que os valores coincidem em todas as 8 linhas (ambas são
nas mesmas linhas e
nas mesmas linhas). Isso prova que as duas fórmulas têm exatamente a mesma tabela-verdade.
Passo 6
Conclusão: como as duas fórmulas têm valores idênticos para todas as combinações possíveis de
, elas são logicamente equivalentes. Em palavras amigas: a condicional distribui-se à esquerda sobre a disjunção, e a tabela-verdade confirma isso.