Exercício 11: Demonstre pela tabela-verdade a equivalência p \rightarrow q \vee r \Longleftrightarrow(p \rightarrow q) \vee(p \rightarrow r). (Esaa equivaléncia exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à disjunçāo.

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, por meio de tabela-verdade, a equivalência
p \rightarrow q \vee r \Longleftrightarrow (p \rightarrow q) \vee (p \rightarrow r).
Ou seja: construir a tabela-verdade das duas fórmulas (à esquerda e à direita) e mostrar que, para todas as combinações possíveis de verdade de p,q,r, as duas fórmulas têm o mesmo valor lógico.

Passo 2

Vamos revisar os operadores e como montar a tabela-verdade (pequena aula prática).
  • A disjunção \,q \vee r\, vale \text{T} (verdadeiro) sempre que pelo menos uma das proposições q ou r for \text{T}; só é \text{F} quando q=\text{F} e r=\text{F}.
  • A condicional \,p\rightarrow s\, vale \text{F} apenas quando p=\text{T} e s=\text{F}; em todos os outros casos vale \text{T}. Intuitivamente: "se p então s" só é violada quando p ocorre e s não ocorre.
  • Para provar equivalência por tabela-verdade, listamos todas as combinações de valores de p,q,r (são 2^3=8 linhas) e calculamos os valores de cada subfórmula; se as duas colunas finais coincidirem em todas as linhas, as fórmulas são logicamente equivalentes.

Passo 3

Organizaremos a tabela com colunas para p,q,r, para a disjunção q\vee r, para a condicional p\rightarrow (q\vee r), para p\rightarrow q, para p\rightarrow r e finalmente para (p\rightarrow q)\vee (p\rightarrow r). Vamos enumerar as 8 linhas com todas as combinações possíveis de p,q,r.

Passo 4

Aqui está a tabela-verdade (cada linha mostra uma combinação de p,q,r e os valores das subfórmulas):
\begin{array}{c c c \;|\; c \;|\; c \;|\; c \;|\; c} p & q & r & q\vee r & p\rightarrow(q\vee r) & p\rightarrow q & p\rightarrow r & (p\rightarrow q)\vee(p\rightarrow r)\\\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\\ \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} \\\ \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\\ \text{F} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\\ \end{array}
Observações rápidas sobre como calculei algumas entradas:
  • Nas linhas onde p=\text{F}, qualquer condicional p\rightarrow(\cdot) é \text{T} (regra da implicação).
  • Na linha com p=\text{T},q=\text{F},r=\text{F} a disjunção q\vee r é \text{F}, então p\rightarrow(q\vee r) é \text{F}; e também p\rightarrow q e p\rightarrow r são \text{F}, portanto a disjunção das duas é \text{F}.

Passo 5

Comparando as colunas de p\rightarrow(q\vee r) e de (p\rightarrow q)\vee(p\rightarrow r) linha a linha na tabela acima, vemos que os valores coincidem em todas as 8 linhas (ambas são \text{T} nas mesmas linhas e \text{F} nas mesmas linhas). Isso prova que as duas fórmulas têm exatamente a mesma tabela-verdade.

Passo 6

Conclusão: como as duas fórmulas têm valores idênticos para todas as combinações possíveis de p,q,r, elas são logicamente equivalentes. Em palavras amigas: a condicional distribui-se à esquerda sobre a disjunção, e a tabela-verdade confirma isso.

Resposta

p \rightarrow q \vee r \Longleftrightarrow (p \rightarrow q) \vee (p \rightarrow r)

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