Exercício 09
Mostrar que a superposição das ondas y_{1} e y_{2} abaixo é uma onda estacionária.
\begin{array}{l} y_{1}(x, t)=A \sin (k x-\omega t) \\\ y_{2}(x, t)=A \sin (k x+\omega t) \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a superposição das duas ondas dadas é uma onda estacionária. As informações fornecidas são (copiadas do enunciado):
  • y_{1}(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
  • y_{2}(x,t)=A\sin(kx+\omega t).
A tarefa: calcular y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t) e mostrar que a forma obtida corresponde a uma onda estacionária (ou seja, uma expressão que separa dependência espacial e temporal e apresenta nós fixos no espaço).

Passo 2

Breve explicação das letras e o que elas representam (para que tudo fique claro durante a resolução):
  • A é a amplitude de cada onda simples (valor máximo de deslocamento).
  • k é o número de onda; relaciona-se com o comprimento de onda \lambda pela fórmula k=\dfrac{2\pi}{\lambda}. Ele controla a variação espacial.
  • \omega é a frequência angular; relaciona-se com a frequência f pela \omega=2\pi f. Ele controla a variação temporal.
  • x é a coordenada espacial e t é o tempo.
Uma onda estacionária costuma ter a forma produto de uma função espacial por uma função temporal, por exemplo algo como \text{(função de }x)\times\text{(função de }t)çãçã. Vamos provar que a soma acima tem exatamente essa forma.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica soma-para-produto que transforma soma de senos em produto. A identidade é:
\sin u+\sin v = 2\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
É útil porque transforma a soma de duas ondas (com argumentos diferentes) em um produto de duas funções (uma dependendo da média dos argumentos e outra da diferença).
(Pequena demonstração da identidade para não ficar no ar: usando as fórmulas de soma para seno,
\sin u = \sin\!\left(\frac{u+v}{2}+\frac{u-v}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right)+\cos\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\!\left(\frac{u-v}{2}\right),
\sin v = \sin\!\left(\frac{u+v}{2}-\frac{u-v}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right)-\cos\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Somando as duas expressões os termos com \cos\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\!\left(\frac{u-v}{2}\right) se cancelam, restando exatamente a identidade acima.)

Passo 4

Agora aplico a identidade aos argumentos das ondas:
coloco u=kx-\omega t e v=kx+\omega t. Então
y(x,t)=y_{1}+y_{2}=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx+\omega t).
Fatorando A e usando a identidade:
y(x,t)=A\bigl[\sin(kx-\omega t)+\sin(kx+\omega t)\bigr] = A\cdot 2\sin\!\left(\frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2}\right)\cos\!\left(\frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2}\right).

Passo 5

Simplificando os meios dentro das funções:
\frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2}=\frac{2kx}{2}=kx, \qquad \frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2}=\frac{-2\omega t}{2}=-\omega t.
Como \cos(-\omega t)=\cos(\omega t), obtemos
\boxed{\;y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t)\; }.
Esta expressão é um produto de uma função puramente espacial \sin(kx) e uma função puramente temporal \cos(\omega t). Isso é a definição de onda estacionária: o padrão espacial (a forma da amplitude ao longo de x) não se desloca, e cada ponto x apenas oscila no tempo com amplitude proporcional a \sin(kx).

Passo 6

Identificação de nós e ventres (para entender fisicamente a onda estacionária):
  • Nós: posições onde a amplitude espacial é zero, ou seja \sin(kx)=0. Isso ocorre quando
kx = n\pi \quad\Rightarrow\quad x = \frac{n\pi}{k},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Nessas posições y(x,t)=0 para todo t: são pontos fixos (sem movimento).
  • Ventres (antinós): posições de amplitude máxima em módulo, onde |\sin(kx)|=1. Isso ocorre quando
kx=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{(2n+1)\pi}{2k}.
Nessas posições o deslocamento máximo em módulo é |y|_{\max}=2A|\cos(\omega t)|, ou seja, o ponto oscila com amplitude máxima 2A.
Observação física final e motivadora: a soma de duas ondas de mesma amplitude e mesma frequência que viajam em sentidos opostos gera um padrão estacionário com nós fixos — isso é frequentemente visto em cordas vibrantes e tubos ressonantes. Você já resolveu o problema: a soma deu uma função do tipo espaço vezes tempo, exatamente o que chamamos de onda estacionária.

Resposta

y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t) — é uma onda estacionária.

Exercícios relacionados