Exercício 09
Mostrar que a superposição das ondas
abaixo é uma onda estacionária.
Mostrar que a superposição das ondas
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a superposição das duas ondas dadas é uma onda estacionária. As informações fornecidas são (copiadas do enunciado):
-
. -
.
A tarefa: calcular
e mostrar que a forma obtida corresponde a uma onda estacionária (ou seja, uma expressão que separa dependência espacial e temporal e apresenta nós fixos no espaço).
Passo 2
Breve explicação das letras e o que elas representam (para que tudo fique claro durante a resolução):
-
é a amplitude de cada onda simples (valor máximo de deslocamento). -
é o número de onda; relaciona-se com o comprimento de onda pela fórmula . Ele controla a variação espacial. -
é a frequência angular; relaciona-se com a frequência pela . Ele controla a variação temporal. -
é a coordenada espacial e é o tempo.
Uma onda estacionária costuma ter a forma produto de uma função espacial por uma função temporal, por exemplo algo como
. Vamos provar que a soma acima tem exatamente essa forma.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica soma-para-produto que transforma soma de senos em produto. A identidade é:
É útil porque transforma a soma de duas ondas (com argumentos diferentes) em um produto de duas funções (uma dependendo da média dos argumentos e outra da diferença).
(Pequena demonstração da identidade para não ficar no ar: usando as fórmulas de soma para seno,
Somando as duas expressões os termos com
se cancelam, restando exatamente a identidade acima.)
Passo 4
Agora aplico a identidade aos argumentos das ondas:
coloco e
. Então
coloco
Fatorando
e usando a identidade:
Passo 5
Simplificando os meios dentro das funções:
Como
, obtemos
Esta expressão é um produto de uma função puramente espacial
e uma função puramente temporal
. Isso é a definição de onda estacionária: o padrão espacial (a forma da amplitude ao longo de
) não se desloca, e cada ponto
apenas oscila no tempo com amplitude proporcional a
.
Passo 6
Identificação de nós e ventres (para entender fisicamente a onda estacionária):
- Nós: posições onde a amplitude espacial é zero, ou seja
. Isso ocorre quando
Nessas posições
para todo
: são pontos fixos (sem movimento).
- Ventres (antinós): posições de amplitude máxima em módulo, onde
. Isso ocorre quando
Nessas posições o deslocamento máximo em módulo é
, ou seja, o ponto oscila com amplitude máxima
.
Observação física final e motivadora: a soma de duas ondas de mesma amplitude e mesma frequência que viajam em sentidos opostos gera um padrão estacionário com nós fixos — isso é frequentemente visto em cordas vibrantes e tubos ressonantes. Você já resolveu o problema: a soma deu uma função do tipo espaço vezes tempo, exatamente o que chamamos de onda estacionária.