Exercício 07
Mostrar que a solução da equação de onda é do tipo y(x-v t).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado. O enunciado pede que mostremos que uma solução da equação de onda em uma dimensão é do tipo y(x-vt).
Informações relevantes fornecidas (ou supondo a forma padrão da equação de onda):
  • A equação de onda em uma dimensão é
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2}\,\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}},
onde:
  • y=y(x,t) é a função desconhecida (deslocamento da onda) que depende da posição x e do tempo t;
  • v é uma constante positiva (velocidade de propagação da onda);
  • pede-se mostrar que funções da forma y(x,t)=F(x-vt) são soluções (isto é, "solução do tipo y(x-vt)").

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (sem resolver ainda). Vou testar diretamente uma solução proposta do tipo viajante: suponha que
y(x,t)=F(\xi), \qquad\text{com}\qquad \xi = x - v t,
onde F é uma função suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável). A estratégia é calcular as derivadas parciais de y em relação a x e t usando a regra da cadeia e substituir na equação de onda para verificar se a igualdade se mantém. Esta é a maneira mais direta e elementar.

Passo 3

Recordando a regra da cadeia e a notação que vamos usar. Se y(x,t)=F(\xi) com \xi=\xi(x,t), então
\frac{\partial y}{\partial x}=F'(\xi)\,\frac{\partial \xi}{\partial x}, \qquad \frac{\partial y}{\partial t}=F'(\xi)\,\frac{\partial \xi}{\partial t},
onde F'(\xi) é a derivada usual de F em relação ao seu argumento \xi. Aqui temos explicitamente \frac{\partial \xi}{\partial x}=1 e \frac{\partial \xi}{\partial t}=-v. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais primeiras e segundas de y.
Primeiras derivadas:
\frac{\partial y}{\partial x}=F'(\xi)\cdot 1 = F'(\xi).
\frac{\partial y}{\partial t}=F'(\xi)\cdot(-v) = -v\,F'(\xi).
Segundas derivadas (aplicando a regra da cadeia novamente):
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(F'(\xi)\big) = F''(\xi)\,\frac{\partial \xi}{\partial x} = F''(\xi)\cdot 1 = F''(\xi).
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial t}\big(-v\,F'(\xi)\big) = -v\,F''(\xi)\,\frac{\partial \xi}{\partial t} = -v\,F''(\xi)\cdot(-v) = v^{2}\,F''(\xi).
Aqui F''(\xi) é a segunda derivada de F em relação ao argumento \xi.

Passo 5

Substituição das derivadas na equação de onda e verificação. A equação de onda pede
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \stackrel{?}{=} v^{2}\,\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}.
Com os resultados do passo anterior temos, à esquerda,
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2}\,F''(\xi),
e à direita
v^{2}\,\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = v^{2}\,F''(\xi).
As duas expressões coincidem para qualquer \xi. Logo, qualquer função F duas vezes diferenciável fornece uma solução y(x,t)=F(x-vt) da equação de onda. Isso demonstra que funções do tipo y(x-vt) são soluções.

Passo 6

Interpretação física e exemplos simples para fixar a ideia. A forma y(x,t)=F(x-vt) representa um perfil F que se desloca rigidamente para a direita com velocidade v sem mudar de forma. Exemplo concreto: se escolhermos F(\xi)=\sin(k\xi) com k constante, obtemos
y(x,t)=\sin\big(k(x-vt)\big)=\sin(kx - \underbrace{k v}_{\omega}t),
onde \omega=k v é a frequência angular. Neste caso a onda é harmônica e satisfaz a relação de dispersão linear \omega = k v.

Passo 7

Observação sobre a solução geral e linearidade. A equação de onda é linear e homogênea, portanto se F(x-vt) é solução e G(x+vt) também é solução (a segunda representa uma onda viajando para a esquerda), então a soma também é solução. Pode-se mostrar rapidamente que y(x,t)=G(x+vt) satisfaz a equação por cálculo análogo (usar \eta=x+vt). Assim a forma geral clássica de d’Alembert para a solução livre é
y(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt),
ou seja, somatório de uma onda que viaja para a direita e outra que viaja para a esquerda. Uma forma alternativa e elegante de obter isso é mudar de variáveis para u=x-vt e w=x+vt e verificar que a equação se reduz a \frac{\partial^{2} y}{\partial u\,\partial w}=0, cuja solução geral se escreve como soma de uma função de u mais uma função de w.

Resposta

Qualquer função F duas vezes diferenciável definida por y(x,t)=F(x-vt) satisfaz
\dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=v^{2}\dfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}. Mais geralmente, a solução é
y(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt),
com F e G duas vezes diferenciáveis.

Exercícios relacionados