y=y(x,t) é a função desconhecida (deslocamento da onda) que depende da posição x e do tempo t;
v é uma constante positiva (velocidade de propagação da onda);
pede-se mostrar que funções da forma y(x,t)=F(x-vt) são soluções (isto é, "solução do tipo y(x-vt)").
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (sem resolver ainda). Vou testar diretamente uma solução proposta do tipo viajante: suponha que
y(x,t)=F(\xi), \qquad\text{com}\qquad \xi = x - v t,
onde F é uma função suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável). A estratégia é calcular as derivadas parciais de y em relação a x e t usando a regra da cadeia e substituir na equação de onda para verificar se a igualdade se mantém. Esta é a maneira mais direta e elementar.
Passo 3
Recordando a regra da cadeia e a notação que vamos usar. Se y(x,t)=F(\xi) com \xi=\xi(x,t), então
onde F'(\xi) é a derivada usual de F em relação ao seu argumento \xi. Aqui temos explicitamente \frac{\partial \xi}{\partial x}=1 e \frac{\partial \xi}{\partial t}=-v. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais primeiras e segundas de y.
As duas expressões coincidem para qualquer \xi. Logo, qualquer função F duas vezes diferenciável fornece uma solução y(x,t)=F(x-vt) da equação de onda. Isso demonstra que funções do tipo y(x-vt) são soluções.
Passo 6
Interpretação física e exemplos simples para fixar a ideia. A forma y(x,t)=F(x-vt) representa um perfil F que se desloca rigidamente para a direita com velocidade v sem mudar de forma. Exemplo concreto: se escolhermos F(\xi)=\sin(k\xi) com k constante, obtemos
onde \omega=k v é a frequência angular. Neste caso a onda é harmônica e satisfaz a relação de dispersão linear \omega = k v.
Passo 7
Observação sobre a solução geral e linearidade. A equação de onda é linear e homogênea, portanto se F(x-vt) é solução e G(x+vt) também é solução (a segunda representa uma onda viajando para a esquerda), então a soma também é solução. Pode-se mostrar rapidamente que y(x,t)=G(x+vt) satisfaz a equação por cálculo análogo (usar \eta=x+vt). Assim a forma geral clássica de d’Alembert para a solução livre é
y(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt),
ou seja, somatório de uma onda que viaja para a direita e outra que viaja para a esquerda. Uma forma alternativa e elegante de obter isso é mudar de variáveis para u=x-vt e w=x+vt e verificar que a equação se reduz a \frac{\partial^{2} y}{\partial u\,\partial w}=0, cuja solução geral se escreve como soma de uma função de u mais uma função de w.
Resposta
Qualquer função F duas vezes diferenciável definida por y(x,t)=F(x-vt) satisfaz \dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=v^{2}\dfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}. Mais geralmente, a solução é