Exercício 08
Mostrar que a superposição das ondas y_{1} e y_{2} abaixo é uma onda propagante.
\begin{array}{l} y_{1}(x, t)=A \sin (k x-\omega t) \\\ y_{2}(x, t)=A \sin (k x-\omega t+\sigma) \end{array}

Passo 1

O enunciado dá duas ondas que dependem de x e t:
y_{1}(x,t)=A\sin\big(kx-\omega t\big)
y_{2}(x,t)=A\sin\big(kx-\omega t+\sigma\big)
O que se pede: mostrar que a superposição \,y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)\, é uma onda propagante.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é a amplitude comum das duas ondas.
  • k é o número de onda.
  • \omega é a frequência angular.
  • \sigma é a diferença de fase entre as duas ondas.
    A resolução começa a partir dessas expressões sem assumir nada mais.

Passo 2

Vamos somar as duas funções e usar uma identidade trigonométrica útil. Escrevendo a soma:
y(x,t)=A\sin\big(kx-\omega t\big)+A\sin\big(kx-\omega t+\sigma\big).
A identidade que vamos usar é a soma de senos:
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Explico rapidamente por que essa identidade vale (passo a passo didático): defina
u=\frac{\alpha+\beta}{2},\qquad v=\frac{\alpha-\beta}{2}.
Então \alpha=u+v e \beta=u-v. Usando a fórmula da soma para seno,
\sin\alpha=\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v,
\sin\beta=\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v.
Somando as duas linhas cancela-se o termo com \cos u\sin v e sobra
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin u\cos v=2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).

Passo 3

Agora aplico a identidade ao caso concreto, com
\alpha=kx-\omega t,\qquad \beta=kx-\omega t+\sigma.
Calculo as combinações:
\frac{\alpha+\beta}{2}=kx-\omega t+\frac{\sigma}{2},
\frac{\alpha-\beta}{2}=-\frac{\sigma}{2}.
Como \cos é função par, \cos\!\left(-\dfrac{\sigma}{2}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\sigma}{2}\right).

Passo 4

Aplicando a identidade e fatorando A:
y(x,t)=A\Big[\sin\alpha+\sin\beta\Big] = A\cdot 2\sin\!\left(kx-\omega t+\frac{\sigma}{2}\right)\cos\!\left(-\frac{\sigma}{2}\right).
Usando \cos(-\sigma/2)=\cos(\sigma/2) obtém-se a forma simplificada
y(x,t)=2A\cos\!\left(\frac{\sigma}{2}\right)\sin\!\left(kx-\omega t+\frac{\sigma}{2}\right).

Passo 5

Interpretação física e por que isso é uma onda propagante. A expressão obtida tem a forma
y(x,t)=\tilde{A}\sin\!\big(kx-\omega t+\varphi\big)
com amplitude efetiva \tilde{A}=2A\cos\!\left(\dfrac{\sigma}{2}\right) e deslocamento de fase \varphi=\dfrac{\sigma}{2}. Uma função \sin(kx-\omega t+\varphi) representa uma onda harmônica viajante no sentido positivo de x (mesma forma de dependência em x e t das ondas iniciais). Para ver a velocidade de propagação, mantenha a fase constante:
kx-\omega t+\varphi=\text{const}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\omega}{k}t+\text{const},
logo a velocidade de fase é v_{\text{fase}}=\dfrac{\omega}{k}. Também vale que o comprimento de onda é \lambda=\dfrac{2\pi}{k} e o período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Observações úteis:
  • Se \sigma=0 então \tilde{A}=2A (interferência construtiva máxima).
  • Se \sigma=\pi então \tilde{A}=0 (interferência destrutiva completa).
  • Se \cos(\sigma/2) for negativo, a amplitude efetiva \tilde{A} fica negativa; isso apenas inverte a fase em \pi, a forma continua sendo uma onda viajante com magnitude |\tilde{A}|.

Resposta

y(x,t)=2A\cos\!\left(\dfrac{\sigma}{2}\right)\sin\!\left(kx-\omega t+\dfrac{\sigma}{2}\right)
É uma onda propagante no sentido +x com velocidade v=\dfrac{\omega}{k} e amplitude efetiva 2A\cos\!\left(\dfrac{\sigma}{2}\right).

Exercícios relacionados