Exercício 08
Mostrar que a superposição das ondas
abaixo é uma onda propagante.
Mostrar que a superposição das ondas
Passo 1
O enunciado dá duas ondas que dependem de
e
:
O que se pede: mostrar que a superposição
é uma onda propagante.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é a amplitude comum das duas ondas. -
é o número de onda. -
é a frequência angular. -
é a diferença de fase entre as duas ondas.
A resolução começa a partir dessas expressões sem assumir nada mais.
Passo 2
Vamos somar as duas funções e usar uma identidade trigonométrica útil. Escrevendo a soma:
A identidade que vamos usar é a soma de senos:
Explico rapidamente por que essa identidade vale (passo a passo didático): defina
Então
e
. Usando a fórmula da soma para seno,
Somando as duas linhas cancela-se o termo com
e sobra
Passo 3
Agora aplico a identidade ao caso concreto, com
Calculo as combinações:
Como
é função par,
.
Passo 4
Aplicando a identidade e fatorando
:
Usando
obtém-se a forma simplificada
Passo 5
Interpretação física e por que isso é uma onda propagante. A expressão obtida tem a forma
com amplitude efetiva
e deslocamento de fase
. Uma função
representa uma onda harmônica viajante no sentido positivo de
(mesma forma de dependência em
e
das ondas iniciais). Para ver a velocidade de propagação, mantenha a fase constante:
logo a velocidade de fase é
. Também vale que o comprimento de onda é
e o período é
. Observações úteis:
- Se
então (interferência construtiva máxima). - Se
então (interferência destrutiva completa). - Se
for negativo, a amplitude efetiva fica negativa; isso apenas inverte a fase em , a forma continua sendo uma onda viajante com magnitude .
Resposta
É uma onda propagante no sentido