Exercício 10: Ainda para o problema anterior, uma carga de madeira de peso
está sendo erguida por um guindaste. Sabendo que a tração é de 20 kN em todas as partes do cabo AEF e que o peso da lança
é de 2 kN , determine: (a) a tração na haste
e (b) a reação no pino
. Resposta: (a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A tração na haste
. - (b) A reação no pino
.
Dados fornecidos no enunciado:
- Peso da carga:
. - A tração no cabo
é (diz que é essa em todas as partes do cabo). - Peso da lança
: . - Respostas indicadas (para conferência): (a)
e (b) .
Observação importante (e decisiva): o enunciado refere-se a elementos geométricos (
, a lança, o pino, a haste, o cabo) cuja posição relativa, comprimentos das barras, distâncias e ângulos são necessários para escrever as equações de equilíbrio. Essa informação geométrica (um esquema/fonte de dados do problema anterior: coordenadas, distâncias entre pontos, ângulos dos membros e pontos de aplicação das forças) não foi enviada. Sem essa figura ou os valores geométricos numéricos não é possível calcular numericamente
nem
. Vou explicar por quê e mostrar exatamente o que seria feito se tivéssemos a figura/dados.
Passo 2
O método que usamos para problemas estáticos desse tipo (estrutura rígida ligada por pinos e cabos/haste) é sempre o mesmo e eu vou te explicar passo a passo, como você deve aplicar na prova:
-
Fazer o diagrama de corpo livre (DCL) da peça/estrutura que vamos analisar (por exemplo, da lança
isolada). No DCL colocamos todas as forças externas conhecidas (peso da carga transmitido pelo cabo em seu ponto de aplicação, tração no cabo aplicada em se for o caso, peso da lança atuando no seu centro de gravidade, reação no pino , força axial na haste , etc.). -
Escrever as equações de equilíbrio para o corpo isolado. Para um corpo plano rígido em equilíbrio estático usamos três equações:
onde
é um ponto conveniente (frequentemente escolhemos o pino
para eliminar as reações de
das equações de momento).
-
Escolher um ponto conveniente para somar momentos (geralmente o pino
quando queremos achar forças em membros que não passam por ). A equação do momento transforma forças em termos de suas componentes e dos braços de momento (distâncias perpendiculares ao eixo de rotação). -
Resolver o sistema de equações para as incógnitas (por exemplo,
e as componentes da reação em ). Se a haste transmite apenas força axial, ela terá uma direção conhecida (definida pela geometria), então sua contribuição às somas de forças se escreve usando a sua direção (componentes em e ).
Eu vou detalhar as fórmulas gerais que você precisa montar — assim quando tiver a figura/dimensões você aplica direto.
Passo 3
Definimos incógnitas e parâmetros geométricos (símbolos genéricos que representam as quantidades geométricas faltantes):
-
= tração (ou compressão) na haste (módulo, sempre positivo; o sinal final dirá se é tração ou compressão). -
= componentes da reação no pino nas direções e . A reação resultante no pino tem módulo . - Dados geométricos (que NÃO temos e precisamos): as distâncias horizontais/verticais dos pontos de aplicação relativas a um sistema de referência, por exemplo:
-
coordenadas do ponto (ponto de aplicação da tração do cabo no topo da lança), -
coordenadas do ponto (ponto de ligação da haste ), -
coordenadas do ponto onde age (normalmente no gancho, ponto ou aplicação através do cabo), - comprimento/ângulo da haste
, que determina a sua direção; diremos o ângulo da haste em relação ao eixo horizontal como . A componente unitária dessa haste é .
-
- Conhecidos numéricos:
, , .
Observação didática sobre conversões: se for preciso trabalhar em N, converta
. Mantê-los em kN é perfeitamente aceitável desde que todas as forças usem a mesma unidade.
Passo 4
Escrevo o procedimento algébrico simbólico (passo a passo) que resolve
e
quando a geometria for conhecida.
-
DCL da lança (ou do conjunto relevante). Colocar as forças:
-
aplicada em com sua direção conhecida pela geometria do cabo (se o cabo fizer um ângulo com a horizontal, então as componentes são e ). - Peso da carga
aplicado no ponto correspondente (suponha que a braços horizontais/verticais em relação a sejam conhecidos). - Peso da lança
atuando no centro de massa da lança (localização conhecida pela geometria; se a lança é homogênea e o comprimento é dado, o centro fica no meio). - A força axial na haste
aplicada no ponto . Se a haste faz ângulo com a horizontal, suas componentes são (positivo para direita) e (positivo para cima), dependendo do sinal escolhido. - A reação desconhecida no pino
: componentes .
-
-
Equações de equilíbrio (tomando momentos em torno de
para eliminar e assim achar ): Expandindo, as contribuições ao momento de cada força são o produto da força pela distância perpendicular ao ponto. Em forma simbólica: ondeé o braço de momento (com sinal) da força aplicada em em relação ao ponto . Note que os sinais (positivo/negativo) dependem do sentido de rotação que cada força produz em torno de . Isolandoobtemos: Esse é o resultado chave:depende linearmente das forças conhecidas multiplicadas por seus braços de momento e inversamente do braço da haste . Observações práticas para a prova:- Ao calcular
para uma força que não é vertical, você usa a componente perpendicular. Por exemplo, se uma força tem componentes e e o ponto de aplicação tem coordenadas em relação a , então o momento escalar em torno de é . - Então, para uma força
com direção definida por , e ponto com coordenadas relativas a , a contribuição ao momento é:
- Ao calcular
-
Depois de achar
numericamente, usamos as equações de equilíbrio de forças para achar as componentes da reação em :
(Os sinais dependem da orientação adotada; aqui estou assumindo forças positivas para a direita e para cima.)
- A reação resultante no pino é então
- Se a questão pede apenas o módulo
, esse é o procedimento final.
Passo 5
Resumo do que falta e por que não posso calcular os valores numéricos agora:
- Para calcular
pela equação de momentos, eu preciso dos braços de momento (os do passo anterior). Esses são obtidos a partir da figura do problema anterior ou dos valores numéricos das distâncias/ângulos entre e do ponto de aplicação da carga . Sem essas distâncias/ângulos não há como substituir numericamente e chegar às respostas. - Além disso, para decompor a tração do cabo e da haste em componentes
é preciso conhecer os ângulos (cabo) e (haste) ou as inclinações via coordenadas dos pontos. - Portanto, sem a figura ou uma tabela com as coordenadas/medidas (por exemplo:
, , , ângulo do cabo com a horizontal = …, posição do gancho em relação a = …), não é possível obter os números e nem confirmar se esses valores estão corretos.
O que você precisa me enviar (ou olhar no problema anterior) para eu resolver numericamente direto:
- A figura da estrutura com as posições dos pontos
OU as coordenadas/medidas: - coordenadas (ou distâncias) de
relativas a um sistema de referência, - ângulos do cabo
e da haste (ou as direções através de coordenadas), - posição do ponto de aplicação da carga
(ou comprimento do cabo e posição do gancho), - qualquer vínculo adicional (por ex., se há outro apoio além de
e ).
- coordenadas (ou distâncias) de
- Com esses dados eu aplico imediatamente o procedimento acima, monto as equações numéricas, e chego passo a passo às respostas finais, mostrando contas sem pular etapas.
Resposta
Impossível determinar numericamente
e
porque a figura/dados geométricos (posições, distâncias e ângulos entre
e ponto de aplicação de
) não foram fornecidos. Dados necessários: coordenadas ou comprimentos e ângulos que definam a geometria da lança, do cabo e da haste.