Exercício 10: Ainda para o problema anterior, uma carga de madeira de peso \mathrm{P}=20 \mathrm{kN} está sendo erguida por um guindaste. Sabendo que a tração é de 20 kN em todas as partes do cabo AEF e que o peso da lança A B C é de 2 kN , determine: (a) a tração na haste C D e (b) a reação no pino B. Resposta: (a) T_{C D}=64,6 \mathrm{~N} (b) R_{B}=106,6 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A tração na haste C D.
  2. (b) A reação no pino B.
Dados fornecidos no enunciado:
  • Peso da carga: P=20\\ \text{kN}.
  • A tração no cabo A E F é T_{AEF}=20\\ \text{kN} (diz que é essa em todas as partes do cabo).
  • Peso da lança A B C: W_{\text{lança}}=2\\ \text{kN}ç.
  • Respostas indicadas (para conferência): (a) T_{C D}=64{,}6\\ \text{N} e (b) R_{B}=106{,}6\\ \text{N}.
Observação importante (e decisiva): o enunciado refere-se a elementos geométricos ( A,B,C,D,E,F, a lança, o pino, a haste, o cabo) cuja posição relativa, comprimentos das barras, distâncias e ângulos são necessários para escrever as equações de equilíbrio. Essa informação geométrica (um esquema/fonte de dados do problema anterior: coordenadas, distâncias entre pontos, ângulos dos membros e pontos de aplicação das forças) não foi enviada. Sem essa figura ou os valores geométricos numéricos não é possível calcular numericamente T_{C D} nem R_{B}. Vou explicar por quê e mostrar exatamente o que seria feito se tivéssemos a figura/dados.

Passo 2

O método que usamos para problemas estáticos desse tipo (estrutura rígida ligada por pinos e cabos/haste) é sempre o mesmo e eu vou te explicar passo a passo, como você deve aplicar na prova:
  1. Fazer o diagrama de corpo livre (DCL) da peça/estrutura que vamos analisar (por exemplo, da lança A B C isolada). No DCL colocamos todas as forças externas conhecidas (peso da carga P transmitido pelo cabo em seu ponto de aplicação, tração no cabo T_{AEF} aplicada em A se for o caso, peso da lança W_{\text{lança}}ç atuando no seu centro de gravidade, reação no pino B, força axial na haste C D, etc.).
  2. Escrever as equações de equilíbrio para o corpo isolado. Para um corpo plano rígido em equilíbrio estático usamos três equações:
    \sum F_x = 0,
\sum F_y = 0,
\sum M_{O} = 0,
onde O é um ponto conveniente (frequentemente escolhemos o pino B para eliminar as reações de B das equações de momento).
  1. Escolher um ponto conveniente para somar momentos (geralmente o pino B quando queremos achar forças em membros que não passam por B). A equação do momento transforma forças em termos de suas componentes e dos braços de momento (distâncias perpendiculares ao eixo de rotação).
  2. Resolver o sistema de equações para as incógnitas (por exemplo, T_{CD} e as componentes da reação em B). Se a haste C D transmite apenas força axial, ela terá uma direção conhecida (definida pela geometria), então sua contribuição às somas de forças se escreve usando a sua direção (componentes em x e y).
Eu vou detalhar as fórmulas gerais que você precisa montar — assim quando tiver a figura/dimensões você aplica direto.

Passo 3

Definimos incógnitas e parâmetros geométricos (símbolos genéricos que representam as quantidades geométricas faltantes):
  • T_{C D} = tração (ou compressão) na haste C D (módulo, sempre positivo; o sinal final dirá se é tração ou compressão).
  • R_{B_x}, R_{B_y} = componentes da reação no pino B nas direções x e y. A reação resultante no pino tem módulo R_B=\sqrt{R_{B_x}^2+R_{B_y}^2}.
  • Dados geométricos (que NÃO temos e precisamos): as distâncias horizontais/verticais dos pontos de aplicação relativas a um sistema de referência, por exemplo:
    • x_A,y_A coordenadas do ponto A (ponto de aplicação da tração do cabo no topo da lança),
    • x_C,y_C coordenadas do ponto C (ponto de ligação da haste C D),
    • x_P,y_P coordenadas do ponto onde P age (normalmente no gancho, ponto F ou aplicação através do cabo),
    • comprimento/ângulo da haste C D, que determina a sua direção; diremos o ângulo da haste em relação ao eixo horizontal como \alpha. A componente unitária dessa haste é (\cos\alpha,\sin\alpha).
  • Conhecidos numéricos: P=20\\ \text{kN}, T_{AEF}=20\\ \text{kN}, W_{\text{lança}}=2\\ \text{kN}ç.
Observação didática sobre conversões: se for preciso trabalhar em N, converta 1\\ \text{kN}=1000\\ \text{N}. Mantê-los em kN é perfeitamente aceitável desde que todas as forças usem a mesma unidade.

Passo 4

Escrevo o procedimento algébrico simbólico (passo a passo) que resolve T_{C D} e R_B quando a geometria for conhecida.
  1. DCL da lança (ou do conjunto relevante). Colocar as forças:
    • T_{AEF} aplicada em A com sua direção conhecida pela geometria do cabo (se o cabo fizer um ângulo \beta com a horizontal, então as componentes são T_{AEF}\cos\beta e T_{AEF}\sin\beta).
    • Peso da carga P aplicado no ponto correspondente (suponha que a braços horizontais/verticais em relação a B sejam conhecidos).
    • Peso da lança W_{\text{lança}}ç atuando no centro de massa da lança (localização conhecida pela geometria; se a lança é homogênea e o comprimento L é dado, o centro fica no meio).
    • A força axial na haste C D aplicada no ponto C. Se a haste faz ângulo \alpha com a horizontal, suas componentes são T_{C D}\cos\alpha (positivo para direita) e T_{C D}\sin\alpha (positivo para cima), dependendo do sinal escolhido.
    • A reação desconhecida no pino B: componentes R_{B_x},R_{B_y}.
  2. Equações de equilíbrio (tomando momentos em torno de B para eliminar R_{B_x},R_{B_y} e assim achar T_{C D}):
    \sum M_B = 0.
    Expandindo, as contribuições ao momento de cada força são o produto da força pela distância perpendicular ao ponto B. Em forma simbólica:
    T_{AEF} \cdot d_{A\!/B}^{(m)} + P \cdot d_{P\!/B}^{(m)} + W_{\text{lança}} \cdot d_{\text{cg}\!/B}^{(m)} + T_{C D} \cdot d_{C\!/B}^{(m)} = 0,ç
    onde d_{X\!/B}^{(m)} é o braço de momento (com sinal) da força aplicada em X em relação ao ponto B. Note que os sinais (positivo/negativo) dependem do sentido de rotação que cada força produz em torno de B.
    Isolando T_{C D} obtemos:
    T_{C D} = -\frac{T_{AEF}\,d_{A\!/B}^{(m)} + P\,d_{P\!/B}^{(m)} + W_{\text{lança}}\,d_{\text{cg}\!/B}^{(m)}}{d_{C\!/B}^{(m)}}.ç
    Esse é o resultado chave: T_{C D} depende linearmente das forças conhecidas multiplicadas por seus braços de momento e inversamente do braço da haste C.
    Observações práticas para a prova:
    • Ao calcular d_{X\!/B}^{(m)} para uma força que não é vertical, você usa a componente perpendicular. Por exemplo, se uma força F tem componentes F_x e F_y e o ponto de aplicação tem coordenadas (x,y) em relação a B, então o momento escalar em torno de B é M_B = xF_y - yF_x.
    • Então, para uma força T_{AEF} com direção definida por \beta, e ponto A com coordenadas (x_A,y_A) relativas a B, a contribuição ao momento é: M_{B}^{(A)} = x_A (T_{AEF}\sin\beta) - y_A (T_{AEF}\cos\beta).
  3. Depois de achar T_{C D} numericamente, usamos as equações de equilíbrio de forças para achar as componentes da reação em B:
    \sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad R_{B_x} + T_{AEF}\cos\beta + T_{CD}\cos\alpha + \cdots = 0,
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad R_{B_y} + T_{AEF}\sin\beta + T_{CD}\sin\alpha - P - W_{\text{lança}} + \cdots = 0.ç
(Os sinais dependem da orientação adotada; aqui estou assumindo forças positivas para a direita e para cima.)
  • A reação resultante no pino é então R_B = \sqrt{R_{B_x}^2 + R_{B_y}^2}.
  • Se a questão pede apenas o módulo R_B, esse é o procedimento final.

Passo 5

Resumo do que falta e por que não posso calcular os valores numéricos agora:
  • Para calcular T_{C D} pela equação de momentos, eu preciso dos braços de momento (os d_{X\!/B}^{(m)} do passo anterior). Esses são obtidos a partir da figura do problema anterior ou dos valores numéricos das distâncias/ângulos entre A,B,C,D e do ponto de aplicação da carga P. Sem essas distâncias/ângulos não há como substituir numericamente e chegar às respostas.
  • Além disso, para decompor a tração do cabo e da haste em componentes x,y é preciso conhecer os ângulos \beta (cabo) e \alpha (haste) ou as inclinações via coordenadas dos pontos.
  • Portanto, sem a figura ou uma tabela com as coordenadas/medidas (por exemplo: AB=..., BC=..., BD=..., ângulo do cabo com a horizontal = …, posição do gancho em relação a B = …), não é possível obter os números 64{,}6\\ \text{N} e 106{,}6\\ \text{N} nem confirmar se esses valores estão corretos.
O que você precisa me enviar (ou olhar no problema anterior) para eu resolver numericamente direto:
  • A figura da estrutura com as posições dos pontos A,B,C,D,E,F OU as coordenadas/medidas:
    • coordenadas (ou distâncias) de A,B,C,D,F relativas a um sistema de referência,
    • ângulos do cabo A E F e da haste C D (ou as direções através de coordenadas),
    • posição do ponto de aplicação da carga P (ou comprimento do cabo e posição do gancho),
    • qualquer vínculo adicional (por ex., se há outro apoio além de B e D).
  • Com esses dados eu aplico imediatamente o procedimento acima, monto as equações numéricas, e chego passo a passo às respostas finais, mostrando contas sem pular etapas.

Resposta

Impossível determinar numericamente T_{C D} e R_{B} porque a figura/dados geométricos (posições, distâncias e ângulos entre A,B,C,D,E,F e ponto de aplicação de P) não foram fornecidos. Dados necessários: coordenadas ou comprimentos e ângulos que definam a geometria da lança, do cabo e da haste.

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