As placas de um capacitor de placas planas e paralelas, no vácuo, estão separadas por uma distância L. Então, as placas desse capacitor sāo aproximadas até uma distāncia L / 2 de modo que a carga armazenada em cada uma das placas seja mantida constante (capacitor isolado). Sobre casa situação, sĩo realizadas as seguintes afirmativas: (I) A capacitância desse capacitor dobra após as placas serem aproximadas. (II) A energia potencial eletrostática armazenada nesse capacitor não se altera após as placas serem aproximadas. (III) A densidade de energia eletrostática na regiāo entre as placas do capacitor nāo se altera após as placas serem aproximadas. Qual(is) a(s) afirmativa(s) verdadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a (I).
(c) Apenas a (II).
(d) Apenas a (III).
(e) (I) e (II).
(f) (I) e (III).
(g) (II) e (III).
(h) Nenhuma.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar quais afirmativas são verdadeiras:
  • Temos um capacitor de placas planas e paralelas no vácuo, com separação inicial \,L.)
  • As placas são aproximadas até a distância \,L/2 (ou seja, a separação é reduzida pela metade).
  • O capacitor está isolado, portanto a carga em cada placa permanece constante; chamo essa carga de \,Q.)
    As afirmativas a avaliar são:
    (I) A capacitância dobra após as placas serem aproximadas.
    (II) A energia potencial eletrostática armazenada não se altera após as placas serem aproximadas.
    (III) A densidade de energia eletrostática na região entre as placas não se altera após as placas serem aproximadas.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática de capacitância para um capacitor de placas paralelas e entender as variáveis:
C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}
onde:
  • \,C é a capacitância (medida de quanto o capacitor armazena carga para uma dada diferença de potencial),
  • \,\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante),
  • \,A é a área de cada placa,
  • \,d é a separação entre as placas.
    Essa fórmula é válida para placas paralelas grandes com desvios de borda desprezíveis. Aqui a variável que muda no problema é \,d (vai de \,L para \,L/2).

Passo 3

Calculo a capacitância inicial \,C_1 e a capacitância final \,C_2:
C_1=\frac{\varepsilon_0 A}{L}
C_2=\frac{\varepsilon_0 A}{L/2}=\frac{\varepsilon_0 A}{\tfrac{L}{2}}=2\frac{\varepsilon_0 A}{L}=2C_1.
Portanto a capacitância dobra quando a separação é reduzida de \,L para \,L/2. Conclusão: a afirmativa (I) é verdadeira.

Passo 4

Agora a energia eletrostática armazenada em um capacitor isolado (carga fixa \,Q) é dada por
U=\frac{Q^2}{2C}.
Explico por que: a energia também pode ser escrita como \,U=\tfrac{1}{2}CV^2 ou \,U=\tfrac{1}{2}QV; usando \,V=Q/C obtemos \,U=Q^2/(2C). Aqui \,Q é fixa no problema (capacitor isolado), então U depende inversamente de C.
Calculo a energia antes e depois:
U_1=\frac{Q^2}{2C_1},\qquad U_2=\frac{Q^2}{2C_2}=\frac{Q^2}{2(2C_1)}=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{2C_1}=\frac{U_1}{2}.
Portanto a energia armazenada reduz-se à metade quando as placas são aproximadas. Conclusão: a afirmativa (II) é falsa — a energia muda (diminui).
Observação física (intuição): com carga fixa, aproximar placas diminui a diferença de potencial V (porque V=Q/C e C aumentou), e a energia elétrica armazenada diminui; a energia perdida vai para o trabalho realizado pela força de atração entre as placas (se não houver dissipação, converte em energia cinética etc.). É por isso que um agente deve segurar as placas para evitar aceleração.

Passo 5

Agora analisamos a densidade de energia eletrostática na região entre as placas. A densidade de energia (energia por volume) do campo elétrico é
u=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2,
onde \,E é o módulo do campo elétrico entre as placas. Para placas paralelas, desprezando bordas, o campo entre elas depende apenas da densidade superficial de carga \,\sigma, não da separação:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\qquad \sigma=\frac{Q}{A},
logo
E=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}.
Note que \,E não depende de \,d. Como \,Q e \,A não mudaram, \,E permanece o mesmo antes e depois. Portanto a densidade de energia
u=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2=\frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{Q}{\varepsilon_0 A}\right)^2
também permanece inalterada ao aproximar as placas. Conclusão: a afirmativa (III) é verdadeira.
Para conferir coerência: a energia total U é u multiplicada pelo volume entre as placas A\cdot d. Como u é constante e d foi reduzido pela metade, U é reduzido pela metade, exatamente como obtivemos antes.

Passo 6

Resumo final das verdades:
  • (I) verdadeira (capacitância dobra).
  • (II) falsa (energia diminui para metade).
  • (III) verdadeira (densidade de energia entre as placas permanece a mesma).
Força aí — você já entendeu a ideia central: com carga fixa, C aumenta quando aproxima as placas, U diminui porque U~1/C, mas o campo local (e então a densidade de energia) não muda porque depende só de \sigma.

Resposta

(f)

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