As placas de um capacitor de placas planas e paralelas, no vácuo, estão separadas por uma distância
. Então, as placas desse capacitor sāo aproximadas até uma distāncia
de modo que a carga armazenada em cada uma das placas seja mantida constante (capacitor isolado). Sobre casa situação, sĩo realizadas as seguintes afirmativas: (I) A capacitância desse capacitor dobra após as placas serem aproximadas. (II) A energia potencial eletrostática armazenada nesse capacitor não se altera após as placas serem aproximadas. (III) A densidade de energia eletrostática na regiāo entre as placas do capacitor nāo se altera após as placas serem aproximadas. Qual(is) a(s) afirmativa(s) verdadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a (I).
(c) Apenas a (II).
(d) Apenas a (III).
(e) (I)
(II).
(f) (I) e (III).
(g) (II) e (III).
(h) Nenhuma.
(a) Todas.
(b) Apenas a (I).
(c) Apenas a (II).
(d) Apenas a (III).
(e) (I)
(f) (I) e (III).
(g) (II) e (III).
(h) Nenhuma.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar quais afirmativas são verdadeiras:
- Temos um capacitor de placas planas e paralelas no vácuo, com separação inicial
.) - As placas são aproximadas até a distância
(ou seja, a separação é reduzida pela metade). - O capacitor está isolado, portanto a carga em cada placa permanece constante; chamo essa carga de
.)
As afirmativas a avaliar são:
(I) A capacitância dobra após as placas serem aproximadas.
(II) A energia potencial eletrostática armazenada não se altera após as placas serem aproximadas.
(III) A densidade de energia eletrostática na região entre as placas não se altera após as placas serem aproximadas.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática de capacitância para um capacitor de placas paralelas e entender as variáveis:
onde:
-
é a capacitância (medida de quanto o capacitor armazena carga para uma dada diferença de potencial), -
é a permissividade do vácuo (constante), -
é a área de cada placa, -
é a separação entre as placas.
Essa fórmula é válida para placas paralelas grandes com desvios de borda desprezíveis. Aqui a variável que muda no problema é(vai de para ).
Passo 3
Calculo a capacitância inicial
e a capacitância final
:
Portanto a capacitância dobra quando a separação é reduzida de
para
. Conclusão: a afirmativa (I) é verdadeira.
Passo 4
Agora a energia eletrostática armazenada em um capacitor isolado (carga fixa
) é dada por
Explico por que: a energia também pode ser escrita como
ou
; usando
obtemos
. Aqui
é fixa no problema (capacitor isolado), então
depende inversamente de
.
Calculo a energia antes e depois:
Portanto a energia armazenada reduz-se à metade quando as placas são aproximadas. Conclusão: a afirmativa (II) é falsa — a energia muda (diminui).
Observação física (intuição): com carga fixa, aproximar placas diminui a diferença de potencial
(porque
e
aumentou), e a energia elétrica armazenada diminui; a energia perdida vai para o trabalho realizado pela força de atração entre as placas (se não houver dissipação, converte em energia cinética etc.). É por isso que um agente deve segurar as placas para evitar aceleração.
Passo 5
Agora analisamos a densidade de energia eletrostática na região entre as placas. A densidade de energia (energia por volume) do campo elétrico é
onde
é o módulo do campo elétrico entre as placas. Para placas paralelas, desprezando bordas, o campo entre elas depende apenas da densidade superficial de carga
, não da separação:
logo
Note que
não depende de
. Como
e
não mudaram,
permanece o mesmo antes e depois. Portanto a densidade de energia
também permanece inalterada ao aproximar as placas. Conclusão: a afirmativa (III) é verdadeira.
Para conferir coerência: a energia total
é
multiplicada pelo volume entre as placas
. Como
é constante e
foi reduzido pela metade,
é reduzido pela metade, exatamente como obtivemos antes.
Passo 6
Resumo final das verdades:
- (I) verdadeira (capacitância dobra).
- (II) falsa (energia diminui para metade).
- (III) verdadeira (densidade de energia entre as placas permanece a mesma).
Força aí — você já entendeu a ideia central: com carga fixa, C aumenta quando aproxima as placas, U diminui porque U~1/C, mas o campo local (e então a densidade de energia) não muda porque depende só de
.
Resposta
(f)