[1,0 ponto ] Deduza os módulos das diferenças de potencial, V_{1} e V_{2}, entre as faces dos dielétricos 1 e 2 , respectivamente (para K_{1} e K_{2} arbitrários, conforme o tronco do enunciado).

Passo 1

O enunciado que você enviou pede: “Deduza os módulos das diferenças de potencial, V_{1} e V_{2}, entre as faces dos dielétricos 1 e 2, respectivamente, para K_{1} e K_{2} arbitrários (conforme o tronco do enunciado)”.\n
Informações explicitamente fornecidas na sua mensagem: somente que os dielétricos têm constantes K_{1} e K_{2} arbitrárias. Nada mais foi enviado.

Passo 2

Preciso agora explicitar o que está faltando e por que isso é essencial: o enunciado parcial que você mandou depende provavelmente de uma configuração geométrica e de condições de contorno (essas informações NÃO foram enviadas). Para determinar V_{1} e V_{2} é necessário saber, no mínimo:
  • as espessuras dos dielétricos, que vou denotar \,d_{1}\, e \,d_{2}\,;\n
  • se as placas externas estão sujeitas a uma diferença de potencial conhecida \,V\,$ (isto é, ligadas a uma bateria) OU se o conjunto está isolado com uma carga total \(Q (ou densidade superficial \sigma) nas placas;\n
  • se existe carga livre na interface entre os dielétricos (normalmente assume-se que não há carga livre na interface).\n
    Cada uma dessas informações muda a expressão final: sem d_{1},d_{2} não se pode relacionar campo elétrico e potencial por V=E d; sem saber se há V externo ou Q fixo não se sabe se a condição de contorno é valor total de potencial ou valor da carga livre (ou seja, se impõe V total ou D=\sigma conhecido).)

Passo 3

Por isso, com o enunciado incompleto (faltando figura/valores/condições de contorno) eu não posso determinar unicamente V_{1} e V_{2} para o seu caso específico. Não vou inventar a figura do “tronco do enunciado” porque isso poderia levar a resposta errada para o problema que o seu professor realmente deu.

Passo 4

Para te ajudar na prova — e sem assumir que esse é exatamente o seu tronco, apenas mostrando os casos mais usuais — eu vou apresentar as fórmulas padrão que aparecem quando temos o caso clássico de duas lâminas dielétricas em série entre placas paralelas, sem carga livre na interface. Vou explicar passo a passo como se chega a essas fórmulas (observe: isto vale somente se a configuração for realmente a descrita abaixo; se o seu tronco for diferente, estas fórmulas podem não ser aplicáveis).\n
Assumindo a configuração padrão: duas lâminas planas e paralelas, espessuras \,d_{1}\, e \,d_{2}\,, constantes dielétricas \,K_{1}\, e \,K_{2}\,, sem carga livre na interface e campos uniformes em cada lâmina. Denoto \varepsilon_{0} a permissividade do vácuo e \varepsilon_{i}=\varepsilon_{0}K_{i} a permissividade do dielétrico i.

Passo 5

Explicação física e fórmulas básicas (aula rápida, calma e passo a passo):\n
  1. No caso em série entre placas paralelas, a componente normal do deslocamento elétrico \,D\, é a mesma em ambas as lâminas se não há carga livre na interface. Ou seja,\n D_1 = D_2 = D.\n
  2. Para dielétricos lineares, \,D_i = \varepsilon_i E_i = \varepsilon_0 K_i E_i. Assim o campo elétrico em cada região é\n E_i = \frac{D}{\varepsilon_0 K_i}.\n
Interpretação: quanto maior K_i, menor o campo E_i para um mesmo D.\n
  1. A diferença de potencial (módulo) através da lâmina i tem a forma clássica \,V_i = E_i d_i. Substituindo E_i obtemos\n V_i = \frac{D\, d_i}{\varepsilon_0 K_i}.\n
  2. Dependendo da condição de contorno global, temos duas situações comuns:
a) Se as placas externas estão ligadas a uma bateria que fixa a diferença de potencial total \,V, então\n V = V_1 + V_2 = \frac{D}{\varepsilon_0}\left(\frac{d_1}{K_1}+\frac{d_2}{K_2}\right).\n
Dessa igualdade isolamos D:\n D = \varepsilon_0\,\frac{V}{\dfrac{d_1}{K_1}+\dfrac{d_2}{K_2}}.\n
Substituindo em V_i = D d_i/(\varepsilon_0 K_i) obtemos as frações da diferença de potencial total que caem em cada lâmina:\n V_1 = V \cdot \frac{\dfrac{d_1}{K_1}}{\dfrac{d_1}{K_1}+\dfrac{d_2}{K_2}},\qquad V_2 = V \cdot \frac{\dfrac{d_2}{K_2}}{\dfrac{d_1}{K_1}+\dfrac{d_2}{K_2}}.\n
Essas fórmulas têm interpretação simples: a queda de potencial é proporcional à espessura efetiva d_i/K_i de cada lâmina.
b) Se o conjunto estiver isolado e a placa tiver carga livre superficial \sigma (ou carga total Q), então D=\sigma (ou D=Q/A). Nesse caso as quedas são diretamente\n V_1 = \frac{\sigma\, d_1}{\varepsilon_0 K_1},\qquad V_2 = \frac{\sigma\, d_2}{\varepsilon_0 K_2}.\n
Se você preferir em termos de Q e área A: \sigma=Q/A, então\n V_i = \frac{Q}{A}\cdot\frac{d_i}{\varepsilon_0 K_i}.

Passo 6

Resumo didático rápido (como usar isso na prova):\n
  • Identifique primeiro se o problema fixa a diferença de potencial total V (bateria) ou a carga Q (sistema isolado).\n
  • Identifique as espessuras \,d_1,d_2 e confirme que não há carga livre na interface (caso haja, a continuidade de D quebra e as fórmulas mudam).\n
  • Use a continuidade de D para ligar os campos; use V_i=E_i d_i para passar de campo para potencial; some as quedas se o total V for conhecido.\n
  • Se faltar qualquer desses dados no enunciado, pergunte (ou verifique o “tronco” do enunciado). Sem esses dados não dá para dar uma resposta única.

Resposta

Não é possível determinar unicamente V_{1} e V_{2} sem o tronco do enunciado (faltam, por exemplo, as espessuras d_{1},d_{2} e a condição de contorno: diferença de potencial total V conhecida ou carga Q/\sigma conhecida).\n
Caso o sistema seja o clássico de duas lâminas em série entre placas paralelas e a diferença de potencial total seja V:\n V_1 = V \cdot \frac{\dfrac{d_1}{K_1}}{\dfrac{d_1}{K_1}+\dfrac{d_2}{K_2}},\qquad V_2 = V \cdot \frac{\dfrac{d_2}{K_2}}{\dfrac{d_1}{K_1}+\dfrac{d_2}{K_2}}.\n
Caso o sistema seja isolado com densidade superficial de carga \sigma nas placas:\n V_1 = \frac{\sigma\, d_1}{\varepsilon_0 K_1},\qquad V_2 = \frac{\sigma\, d_2}{\varepsilon_0 K_2}.

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