Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função
f(x)=e^x, definida em -pi<x<pi e estendida periodicamente com período 2pi.
Para isso usaremos as fórmulas
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx,
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx,
bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx,
e depois montamos
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)

Passo 2

Calculando a0:
a0=1piintegral-pi^pie^x,dx =1pil[e^xr]-pi^pi =e^pi-e^-pipi =2sinhpipi

Passo 3

Calculando an:
an=1piintegral-pi^pie^xcos(nx),dx
Usamos a primitiva
integral e^xcos(nx),dx =e^xl(cos(nx)+nsin(nx)r)1+n^2,
avaliando de -pi a pi:
integral-pi^pie^xcos(nx),dx =e^pi(cos(npi)+nsin(npi)) -e^-pi(cos(-npi)+nsin(-npi))1+n^2
Como sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, fica
integral-pi^pie^xcos(nx),dx =(-1)^n(e^pi-e^-pi)1+n^2 =2(-1)^nsinhpi1+n^2
Logo
an =2(-1)^nsinhpipi,(1+n^2)

Passo 4

Calculando bn:
bn=1piintegral-pi^pie^xsin(nx),dx
Usamos a primitiva
integral e^xsin(nx),dx =e^xl(sin(nx)-ncos(nx)r)1+n^2,
avaliando:
integral-pi^pie^xsin(nx),dx =e^pi(sin(npi)-ncos(npi)) -e^-pi(sin(-npi)-ncos(-npi))1+n^2
Como sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, obtemos
integral-pi^pie^xsin(nx),dx =-n(-1)^n(e^pi-e^-pi)1+n^2 =-2n(-1)^nsinhpi1+n^2
Logo
bn =-2n(-1)^nsinhpipi,(1+n^2) =2n(-1)^,n+1sinhpipi,(1+n^2)

Passo 5

Montando a série de Fourier:
f(x) =a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
com
a02=sinhpipi, an=2(-1)^nsinhpipi,(1+n^2), bn=2n(-1)^,n+1sinhpipi,(1+n^2)

Resposta

boxed e^x =sinhpipi +sumn=1^infty[ 2(-1)^nsinhpipi(1+n^2)cos(nx) +2n(-1)^,n+1sinhpipi(1+n^2)sin(nx) ]

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