Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série de Fourier da função periódica de período
O conteúdo necessário é a fórmula da série de Fourier num intervalo simétrico ([-L,L]]:

onde

Passo 2

Calculamos primeiro o coeficiente a0:
a0=1Ll[integral-L^0(-L),dx+integral0^LL,dxr] =1Ll(-Lcdot L+Lcdot Lr)=0

Passo 3

Como f(x) é função ímpar ( f(-x)=-f(x)), todos os an (coeficientes de cosseno, pares) são zero:
an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(tfracnpi xLr),dx=0, n>=1

Passo 4

Focamos em bn. Escrevemos a integral em duas partes:
bn=1Ll[integral-L^0(-L)sinl(tfracnpi xLr)dx +integral0^LLsinl(tfracnpi xLr)dxr]
Calculando cada pedaço (usando integralsin(ax),dx=-1acos(ax)):
integral-L^0(-L)sinl(tfracnpi xLr)dx = L^2npil[1-(-1)^nr], integral0^LLsinl(tfracnpi xLr)dx = L^2npil[1-(-1)^nr]
Somando e dividindo por L
bn=2L^2L,npil[1-(-1)^nr] =2Lnpil[1-(-1)^nr]

Passo 5

Note que se n é par, (-1)^n=1 e bn=0. Se n=2k+1 é ímpar, (-1)^n=-1 e
b2k+1=2L(2k+1)pil[1-(-1)r] =4L(2k+1)pi

Passo 6

Como só aparecem senos com índices ímpares, a série de Fourier fica
f(x)=sumk=0^inftyb2k+1,sinl(tfrac(2k+1)pi xLr) =sumk=0^infty4L(2k+1)pi, sinl(tfrac(2k+1)pi xLr)

Resposta

f(x)=sumk=0^infty4L(2k+1)pi, sinl(tfrac(2k+1)pi xLr)

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