Exercício 11. Seja
uma sequência real. Para todo
, dá-se
. Mostrar que uma condição necessária para que a sequência
admita um limite é
. É uma condição suficiente ?
Passo 1
O enunciado define a sequência de somas parciais
e pede para mostrar que, se
converge, então
. O conteúdo de matéria aqui é séries numéricas e convergência de sequências.
Passo 2
Suponha que
tenha limite
. Para
, temos
Como
e
, segue que
o que prova que
é condição necessária.
Passo 3
Para testar se a condição
também é suficiente para a convergência de
, precisamos encontrar um exemplo em que
mas
não converge.
Passo 4
Considere a série harmônica, defina
Aqui
, mas as somas parciais
divergem (tendem a
).
Resposta
A condição
é necessária, porém não é suficiente para que
converja.