Exercício 11. Seja \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n}} uma sequência real. Para todo \mathrm{n} \geq 0, dá-se \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}. Mostrar que uma condição necessária para que a sequência \left(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n}} admita um limite é \lim \mathrm{u}_{\mathrm{n}}=0. É uma condição suficiente ?

Passo 1

O enunciado define a sequência de somas parciais
S_n=\sum_{i=0}^n u_i
e pede para mostrar que, se (S_n) converge, então \lim_{n\to\infty}u_n=0. O conteúdo de matéria aqui é séries numéricas e convergência de sequências.

Passo 2

Suponha que (S_n) tenha limite L. Para n\ge1, temos
u_n=S_n-S_{n-1}.
Como S_n\to L e S_{n-1}\to L, segue que
u_n=(S_n-S_{n-1})\to L-L=0,
o que prova que \lim_{n\to\infty}u_n=0 é condição necessária.

Passo 3

Para testar se a condição \lim_{n\to\infty}u_n=0 também é suficiente para a convergência de (S_n), precisamos encontrar um exemplo em que u_n\to0 mas (S_n) não converge.

Passo 4

Considere a série harmônica, defina
u_n=\frac{1}{n+1}.
Aqui \lim_{n\to\infty}u_n=0, mas as somas parciais
S_n=\sum_{i=0}^n\frac{1}{i+1}
divergem (tendem a +\infty).

Resposta

A condição \lim_{n\to\infty}u_n=0 é necessária, porém não é suficiente para que \bigl(S_n\bigr) converja.

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