Exercício 10 - Considere a função f:\{(1,-1,0,0),(-2,0,1,2),(0,0,0,0),(3,4,0,2),(1,1,-3,2),(-1,-2,-3,7)\} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x, y, z, t)=x^{2}+y-2 z+t
(a) Determine o domínio da função f.
(b) Determine a imagem de (1,1,-3,2) pela função f.
(c) Determine o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado define uma função f cujo domínio é um conjunto finito de seis tuplas em \mathbb{R}^4 e que manda cada tupla (x,y,z,t) em um número real dado por
f(x,y,z,t)=x^{2}+y-2z+t.
O que vamos precisar:
– Saber que o domínio de f é exatamente o conjunto de todas as entradas fornecidas.
– Saber que a imagem de um ponto é o valor de f nesse ponto.
– Saber que o conjunto imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de todos os valores reais que f atinge ao variar sobre o domínio.

Passo 2

O domínio de f é o próprio conjunto dado no enunciado, ou seja,
\{(1,-1,0,0),\;(-2,0,1,2),\;(0,0,0,0),\;(3,4,0,2),\;(1,1,-3,2),\;(-1,-2,-3,7)\}.

Passo 3

Para encontrar a imagem de (1,1,-3,2), basta avaliar
f(1,1,-3,2)=1^{2}+1-2\cdot(-3)+2.
Calculando:
1+1+6+2=10.

Passo 4

Agora vamos calcular f em cada ponto do domínio para achar o conjunto imagem:
  1. f(1,-1,0,0)=1^{2}+(-1)-2\cdot0+0=1-1=0.
  2. f(-2,0,1,2)=(-2)^{2}+0-2\cdot1+2=4-2+2=4.
  3. f(0,0,0,0)=0^{2}+0-2\cdot0+0=0.
  4. f(3,4,0,2)=3^{2}+4-2\cdot0+2=9+4+2=15.
  5. f(1,1,-3,2)=10 (já calculado).
  6. f(-1,-2,-3,7)=(-1)^{2}+(-2)-2\cdot(-3)+7=1-2+6+7=12. Logo os valores obtidos são 0,4,15,10,12, e repetição de 0 não muda o conjunto.

Resposta

(a) O domínio é
\{(1,-1,0,0),\;(-2,0,1,2),\;(0,0,0,0),\;(3,4,0,2),\;(1,1,-3,2),\;(-1,-2,-3,7)\}.
(b) A imagem de (1,1,-3,2) é 10.
(c) O conjunto imagem de f é
\{0,\;4,\;10,\;12,\;15\}.

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