Exercício 9 - Considere a função f:\{(1,-1,0),(-2,0,1),(0,0,0),(4,0,2),(1,-3,2),(-1,-2,-3)\} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x, y, z)=x-2 y-z
(a) Determine o domínio da função f.
(b) Determine a imagem de (1,-3,2) pela função f.
(c) Determine o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \{(1,-1,0),\,(-2,0,1),\,(0,0,0),\,(4,0,2),\,(1,-3,2),\,(-1,-2,-3)\}\to\mathbb{R},
pelo critério
f(x,y,z)=x-2y-z.
O conteúdo aqui é avaliar funções de domínios finitos e encontrar domínio, valor em um ponto e conjunto‐imagem.

Passo 2

O domínio de f é simplesmente o conjunto em que ela está definida, ou seja,
\Dom(f)=\{(1,-1,0),\,(-2,0,1),\,(0,0,0),\,(4,0,2),\,(1,-3,2),\,(-1,-2,-3)\}.

Passo 3

Para calcular a imagem de (1,-3,2), basta substituir x=1, y=-3 e z=2 em
f(x,y,z)=x-2y-z.
Temos
f(1,-3,2)=1-2\cdot(-3)-2=1+6-2=5.

Passo 4

Para obter o conjunto‐imagem basta calcular f em cada ponto do domínio:
\begin{aligned} f(1,-1,0)&=1-2\cdot(-1)-0=3,\\\ f(-2,0,1)&=-2-0-1=-3,\\\ f(0,0,0)&=0-0-0=0,\\\ f(4,0,2)&=4-0-2=2,\\\ f(1,-3,2)&=5\quad(\text{já calculado}),\\\ f(-1,-2,-3)&=-1-2\cdot(-2)-(-3)=-1+4+3=6. \end{aligned}á
Logo o conjunto‐imagem é
\Im(f)=\{-3,\,0,\,2,\,3,\,5,\,6\}.

Resposta

Domínio:
\{(1,-1,0),\,(-2,0,1),\,(0,0,0),\,(4,0,2),\,(1,-3,2),\,(-1,-2,-3)\}. f(1,-3,2)=5.
Conjunto‐imagem:
\{-3,\,0,\,2,\,3,\,5,\,6\}.

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