Exercício 2. Calcule a área das seguintes regiões.
A parte do paraboloide x=y^{2}+z^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+z^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide
x = y^2 + z^2
que está contida dentro do cilindro
y^2 + z^2 = 16.
O conteúdo é cálculo de área de superfície usando a parametrização da superfície e integrando a sua “densidade” \|r_y\times r_z\| sobre a região apropriada no plano (y,z).

Passo 2

Parametrizamos o paraboloide por
r(y,z) = \bigl(x(y,z),\,y,\,z\bigr) = \bigl(y^2+z^2,\;y,\;z\bigr),
onde (y,z) varia na região circular
D = \{(y,z)\mid y^2+z^2\le 16\}.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
r_y = \bigl(2y,\,1,\,0\bigr), \quad r_z = \bigl(2z,\,0,\,1\bigr),
e o produto vetorial
r_y \times r_z = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\[6pt] 2y & 1 & 0 \\[3pt] 2z & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1)\,\mathbf i - (2y)\,\mathbf j - (2z)\,\mathbf k.
Assim, sua norma é
\|r_y \times r_z\| = \sqrt{1^2 + (2y)^2 + (2z)^2} = \sqrt{1 + 4(y^2+z^2)}.]

Passo 4

Em coordenadas polares no plano (y,z), definimos
y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta, \quad 0\le r\le 4,\quad 0\le\theta\le 2\pi.
Note que y^2+z^2=r^2, e o elemento de área é dy\,dz = r\,dr\,d\theta. Logo a área A vale
A = \iint_{D} \|r_y\times r_z\|\;dy\,dz = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{4} \sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em r. Faça t = 1 + 4r^2, então dt = 8r\,dr e r\,dr = dt/8. Quando r=0, t=1; quando r=4, t=1+4\cdot16=65. Assim
\int_{0}^{4} r\sqrt{1+4r^2}\,dr = \int_{t=1}^{65} \frac{\sqrt{t}}{8}\,dt = \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\bigl[t^{3/2}\bigr]_{1}^{65} = \frac{1}{12}\bigl(65^{3/2}-1\bigr).
Multiplicando pelo integral em \theta
A = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{12}\bigl(65^{3/2}-1\bigr)\,d\theta = \frac{2\pi}{12}\bigl(65\sqrt{65}-1\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(65\sqrt{65}-1\bigr).

Resposta

A = \frac{\pi}{6}\,\bigl(65\sqrt{65} - 1\bigr).

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