Exercício 10: Consideremos, em \mathbb{R}^{2}, as seguintes bases:
\begin{aligned} & \beta=\{(2,-1),(-3,2)\} \\\ & \beta^{\prime}=\{(0,2),(3,-1)\} \end{aligned}
Encontre as matrizes de mudança de base [I]_{\beta^{\prime}}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\beta^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço \mathbb{R}^2 com as bases
\beta=\{(2,-1),\,(-3,2)\},\quad \beta'=\{(0,2),\,(3,-1)\}
e pede as matrizes de mudança de base [I]_{\beta'}^{\beta} (que leva coordenadas em \beta para coordenadas em \beta') e [I]_{\beta}^{\beta'} (o inverso). Para isso, vamos expressar cada vetor de \beta como combinação linear dos vetores de \beta', montar [I]_{\beta'}^{\beta} e, em seguida, inverter essa matriz.

Passo 2

Denotemos
v_1=(2,-1),\quad v_2=(-3,2), \qquad u_1=(0,2),\quad u_2=(3,-1).
Para encontrar a primeira coluna de [I]_{\beta'}^{\beta}, escrevemos
c_1u_1 + c_2u_2 = v_1
que gera o sistema
\begin{cases} 3c_2 = 2,\\\\ 2c_1 - c_2 = -1. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem c_2 = \tfrac{2}{3}. Substituindo na segunda,
2c_1 - \tfrac{2}{3} = -1 \quad\implies\quad 2c_1 = -\tfrac{1}{3} \quad\implies\quad c_1 = -\tfrac{1}{6}.
Logo, as coordenadas de v_1 em \beta' são \bigl(-\tfrac16,\tfrac23\bigr).

Passo 4

Para v_2\) fazemos \[c_1u_1 + c_2u_2 = v_2
que dá
\begin{cases} 3c_2 = -3,\\\\ 2c_1 - c_2 = 2. \end{cases}
Da primeira equação c_2=-1\] e da segunda \(2c_1+1=2\implies c_1=\tfrac12. Assim, as coordenadas de v_2 em \beta' são \bigl(\tfrac12,-1\bigr). Montamos então
[I]_{\beta'}^{\beta} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A matriz [I]_{\beta}^{\beta'} é a inversa de [I]_{\beta'}^{\beta}. O determinante de
\displaystyle \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{2}\\[3pt] \tfrac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}
é
\det = \Bigl(-\tfrac{1}{6}\Bigr)\cdot(-1)\;-\;\tfrac12\cdot\tfrac23 = \tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{6}.
Logo
[I]_{\beta}^{\beta'} = \frac{1}{\det} \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac{1}{2}\\[3pt] -\tfrac{2}{3}& -\tfrac{1}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3\\[3pt] 4 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{\beta'}^{\beta} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{2}\\\ \tfrac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}, \qquad [I]_{\beta}^{\beta'} = \begin{pmatrix} 6 & 3\\\\ 4 & 1 \end{pmatrix}.

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