Exercício 09: Consideremos o espaço
P_{3}=\left\{a x^{3}+b x^{2}+c x+d: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}
com a base \beta dada por
\beta=\left\{1,1-x,(1-x)^{2},(1-x)^{3}\right\}
Encontre a matriz de coordenadas dos seguintes vetores em relação à base \beta :
\vec{u}=3-2 x-x^{2},

Passo 1

Temos o espaço de polinômios \,P_{3}\, com a base
\beta=\{\,1,\;1-x,\;(1-x)^{2},\;(1-x)^{3}\}
e queremos escrever
\vec{u}(x)=3-2x - x^{2}
como combinação linear dos vetores de \beta. Ou seja, encontrar \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} tais que
\vec{u}(x)=\alpha_{1}\cdot 1 \;+\;\alpha_{2}\,(1-x)\;+\;\alpha_{3}\,(1-2x+x^{2})\;+\;\alpha_{4}\,(1-3x+3x^{2}-x^{3}).

Passo 2

Expandindo o lado direito e agrupando os termos, obtemos
\vec{u}(x) =\bigl(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}\bigr) +\bigl(-\alpha_{2}-2\alpha_{3}-3\alpha_{4}\bigr)x +\bigl(\alpha_{3}+3\alpha_{4}\bigr)x^{2} +\bigl(-\alpha_{4}\bigr)x^{3}.
Como \vec{u}(x)=3-2x - x^{2}+0\cdot x^{3}, igualamos coeficientes:

Passo 3

Montamos o sistema
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=3,\\\\ -\alpha_{2}-2\alpha_{3}-3\alpha_{4}=-2,\\\ \alpha_{3}+3\alpha_{4}=-1,\\\\ -\alpha_{4}=0. \end{cases}

Passo 4

Da última equação vem \alpha_{4}=0. Substituindo em \alpha_{3}+3\alpha_{4}=-1 \alpha_{3}=-1.
Na segunda equação -\alpha_{2}-2(-1)-3\cdot0=-2 resulta em \alpha_{2}=4.
Finalmente, na primeira equação \alpha_{1}+4+(-1)+0=3 obtemos \alpha_{1}=0.

Resposta

O vetor de coordenadas de \vec{u} em relação a \beta é
\begin{pmatrix} 0\\\\ 4\\\\ -1\\\\ 0 \end{pmatrix}.

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