Exercício 09: Consideremos o espaço
P_{3}=\left\{a x^{3}+b x^{2}+c x+d: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}
com a base \beta dada por
\beta=\left\{1,1-x,(1-x)^{2},(1-x)^{3}\right\}
Encontre a matriz de coordenadas dos seguintes vetores em relação à base \beta :
\vec{u}=a+b x+c x^{2}+d x^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
P_{3} = \{a x^{3} + b x^{2} + c x + d : a,b,c,d\in\mathbb{R}\}
e a base
\beta = \{\,1,\;1 - x,\;(1 - x)^{2},\;(1 - x)^{3}\}.
Queremos escrever o vetor
\vec{u}(x) = a + b x + c x^{2} + d x^{3}
como combinação linear dos vetores de \beta, isto é achar escalares k_{1},k_{2},k_{3},k_{4} tais que
\vec{u}(x) = k_{1}\,1 + k_{2}\,(1 - x) + k_{3}\,(1 - x)^{2} + k_{4}\,(1 - x)^{3}.

Passo 2

Vamos expandir o lado direito em potências de x. Primeiro note que
(1 - x)^{2} = 1 - 2x + x^{2},
(1 - x)^{3} = 1 - 3x + 3x^{2} - x^{3}.
Logo
k_{1} + k_{2}(1 - x) + k_{3}(1 - 2x + x^{2}) + k_{4}(1 - 3x + 3x^{2} - x^{3}).
Agrupando termos em 1,x,x^{2},x^{3}, obtemos

Passo 3

Coeficiente de 1:
k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4}.
Coeficiente de x:
-\,k_{2} \;-\;2\,k_{3} \;-\;3\,k_{4}.
Coeficiente de x^{2}:
k_{3} + 3\,k_{4}.
Coeficiente de x^{3}:
-\,k_{4}.

Passo 4

Como isso deve ser igual a
a + b x + c x^{2} + d x^{3},
iguais os coeficientes em cada potência de x, temos o sistema
\begin{cases} k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4} = a,\\\\ -\,k_{2} - 2\,k_{3} - 3\,k_{4} = b,\\\ k_{3} + 3\,k_{4} = c,\\\\ -\,k_{4} = d. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo de baixo para cima:
k_{4} = -\,d,
k_{3} + 3(-d) = c \quad\Longrightarrow\quad k_{3} = c + 3\,d,
-\,k_{2} - 2(c + 3d) - 3(-d) = b \quad\Longrightarrow\quad -\,k_{2} - 2c - 6d + 3d = b \quad\Longrightarrow\quad k_{2} = -\,b - 2c - 3d,
k_{1} = a - \bigl(k_{2} + k_{3} + k_{4}\bigr) = a - \bigl(-b -2c -3d + c +3d - d\bigr) = a + b + c + d.

Passo 6

Portanto as coordenadas de \vec{u} em relação a \beta são
\begin{pmatrix} k_{1}\\\ k_{2}\\\ k_{3}\\\ k_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b + c + d\\\\ -\,b - 2c - 3d\\\ c + 3d\\\\ -\,d \end{pmatrix}.

Resposta

[\vec{u}]_{\beta} = \begin{pmatrix} a + b + c + d\\\\ -\,b - 2c - 3d\\\ c + 3d\\\\ -\,d \end{pmatrix}.

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