Exercício 3.10.8. Dadas duas matrizes simétricas
:
a) provar que
è simétrica;
b) provar que
è simétrica;
c) estabelecer se
è simétrica;
d) estabelecer se
è simétrica.
a) provar que
b) provar que
c) estabelecer se
d) estabelecer se
Passo 1
O enunciado pede para matrizes
simétricas (isto é,
e
) verificar:
a) é simétrica;
b) é simétrica;
c) quando é simétrica;
d) é simétrica.
O conteúdo que vamos usar são as propriedades da transposta:
a)
b)
c) quando
d)
O conteúdo que vamos usar são as propriedades da transposta:
Passo 2
Propriedade da transposta de soma: para quaisquer matrizes
e
de mesma ordem,
Passo 3
Aplicando essa propriedade a
, temos
Como
e
, segue
ou seja,
é simétrica.
Passo 4
Propriedade da transposta de produto: para quaisquer matrizes
e
compatíveis,
No caso de
, obtemos
logo
é simétrica.
Passo 5
Para verificar se
é simétrica, calculamos
Portanto
é simétrica se, e somente se,
Em geral
e
não comutam, então
nem sempre é simétrica; é simétrica exatamente quando
e
comutam.
Passo 6
Finalmente, para
temos
pois
e
. Assim
é sempre simétrica, sem precisar que
e
comutem.
Resposta
a)
é simétrica.
b) é simétrica.
c) é simétrica se, e somente se,
; em geral não é.
d) é sempre simétrica.
b)
c)
d)