Exercício 3.10.8. Dadas duas matrizes simétricas A, B in Mn(R) :
a) provar que A+B è simétrica;
b) provar que A^2 è simétrica;
c) estabelecer se A B è simétrica;
d) estabelecer se A B A è simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para matrizes A,Bin Mn(R) simétricas (isto é, A^T=A e B^T=B) verificar:
a) A+B é simétrica;
b) A^2 é simétrica;
c) quando AB é simétrica;
d) ABA é simétrica.
O conteúdo que vamos usar são as propriedades da transposta:
(X+Y)^T = X^T + Y^T,
(XY)^T = Y^T X^T

Passo 2

Propriedade da transposta de soma: para quaisquer matrizes X e Y de mesma ordem,
(X+Y)^T = X^T + Y^T

Passo 3

Aplicando essa propriedade a A+B, temos
(A+B)^T = A^T + B^T
Como A^T = A e B^T = B, segue
(A+B)^T = A + B,
ou seja, A+B é simétrica.

Passo 4

Propriedade da transposta de produto: para quaisquer matrizes X e Y compatíveis,
(XY)^T = Y^T X^T
No caso de A^2 = A,A, obtemos
(A^2)^T = (A A)^T = A^T A^T = A,A = A^2,
logo A^2 é simétrica.

Passo 5

Para verificar se AB é simétrica, calculamos
(AB)^T = B^T A^T = B,A
Portanto AB é simétrica se, e somente se,
(AB)^T = AB Long<=ftrightarrow BA = AB
Em geral A e B não comutam, então AB nem sempre é simétrica; é simétrica exatamente quando A e B comutam.

Passo 6

Finalmente, para ABA temos
(ABA)^T = A^T B^T A^T = A,B,A,
pois A^T=A e B^T=B. Assim ABA é sempre simétrica, sem precisar que A e B comutem.

Resposta

a) A+B é simétrica.
b) A^2 é simétrica.
c) AB é simétrica se, e somente se, AB=BA; em geral não é.
d) ABA é sempre simétrica.

Exercícios relacionados