Considere o
-espaço vetorial
e o subconjunto
em que
e
.
(a) Escreva o polinômio
como combinação linear dos polinômios de
.
(b) Utilize o resultado do item (a) para escrever o polinômio
como combinação linear dos polinômios de
.
(c) Utilize novamente o resultado do item (a) para verificar que
é LI.
(d) Conclua que
é uma base do
-espaço vetorial
.
(a) Escreva o polinômio
(b) Utilize o resultado do item (a) para escrever o polinômio
(c) Utilize novamente o resultado do item (a) para verificar que
(d) Conclua que
Passo 1
Resumindo, estamos no espaço
(dimensão 4) e temos
Queremos expressar o polinômio genérico
como combinação linear de
.
Passo 2
Suponha
Então
Comparando com
obtemos o sistema
Dessas equações segue
Portanto
Passo 3
Para
p(t)=1+t+t^2+t^3 temos
a=b=c=d=1 . Substituindo:
Logo
Passo 4
Para verificar independência linear, note que se
então o polinômio nulo tem
a=b=c=d=0 , e pelo sistema acima
x3=0 ,
x4=0 ,
x2=0 ,
x1=0 . Só a combinação trivial anula. Logo
B é LI.
Passo 5
Como
B tem 4 vetores independentes em
P3(R) de dimensão 4, concluímos que
B é base de
P3(R) .
Resposta
(a)
(b)
(c)
B é LI.
(d)B é base de
P3(R) .
(d)