Considere o R-espaço vetorial P3(R) e o subconjunto
B=p1(t), p2(t), p3(t), p4(t)
em que p1(t)=1, p2(t)=2+t, p3(t)=3 t-t^2 e p4(t)=t-t^3.
(a) Escreva o polinômio p(t)=a+b t+c t^2+d t^3 como combinação linear dos polinômios de B.
(b) Utilize o resultado do item (a) para escrever o polinômio p(t)=1+t+t^2+t^3 como combinação linear dos polinômios de B.
(c) Utilize novamente o resultado do item (a) para verificar que B é LI.
(d) Conclua que B é uma base do R-espaço vetorial P3(R).

Passo 1

Resumindo, estamos no espaço P3(R) (dimensão 4) e temos
B=p1(t)=1,;p2(t)=2+t,;p3(t)=3t-t^2,;p4(t)=t-t^3
Queremos expressar o polinômio genérico
p(t)=a+b,t+c,t^2+d,t^3
como combinação linear de B.

Passo 2

Suponha
p(t)=x1p1(t)+x2p2(t)+x3p3(t)+x4p4(t)
Então
p(t)&=x1cdot1+x2(2+t)+x3(3t-t^2)+x4(t-t^3) &=(x1+2x2);+;(x2+3x3+x4),t;-;x3,t^2;-;x4,t^3
Comparando com a+b,t+c,t^2+d,t^3 obtemos o sistema
x1+2x2=a, x2+3x3+x4=b, -,x3=c, -,x4=d
Dessas equações segue
x3=-c, x4=-d, x2=b+3c+d, x1=a-2(b+3c+d)=a-2b-6c-2d
Portanto
boxed p(t)=(a-2b-6c-2d),p1(t)+(b+3c+d),p2(t)-c,p3(t)-d,p4(t)

Passo 3

Para p(t)=1+t+t^2+t^3 temos a=b=c=d=1. Substituindo:
x3=-1, x4=-1, x2=1+3cdot1+1=5, x1=1-2-6-2=-9
Logo
boxed 1+t+t^2+t^3=-9,p1(t)+5,p2(t)-1,p3(t)-1,p4(t)

Passo 4

Para verificar independência linear, note que se
x1p1(t)+x2p2(t)+x3p3(t)+x4p4(t)equiv0
então o polinômio nulo tem a=b=c=d=0, e pelo sistema acima x3=0, x4=0, x2=0, x1=0. Só a combinação trivial anula. Logo B é LI.

Passo 5

Como B tem 4 vetores independentes em P3(R) de dimensão 4, concluímos que B é base de P3(R).

Resposta

(a)
p(t)=(a-2b-6c-2d),p1(t)+(b+3c+d),p2(t)-c,p3(t)-d,p4(t)
(b)
1+t+t^2+t^3=-9,p1(t)+5,p2(t)-p3(t)-p4(t)
(c) B é LI.
(d) B é base de P3(R).

Exercícios relacionados