Exercício 3. Seja C uma circunferência com origem O e X um ponto de C, a reta tangente de C no X é a reta que passa por x com direção ortogonal ao vetor O X. Um quadrilátero A B C D é circunscritível a uma circunferência C, se todos seus quatro lados são tangente a C.
(a) Mostre que se X e Y são dois pontos diferentes no a circunferência C que não é opostos e A o ponto de interseção das retas tangentes da circunferência nos pontos X e Y, então |X A|=|Y A|.
(b) Se o quadrilátero A B C D é circunscritível mostre que as soma de comprimento de quaisquer dois lados opostos é igual a soma de comprimento dos outros dois lados opostos

Passo 1

O enunciado trata de duas ideias principais de geometria do círculo:
  1. Propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência a partir de um ponto externo (dois segmentos tangentes a partir de um mesmo ponto têm igual comprimento).
  2. Teorema de Pitot para quadriláteros circunscritos (a soma dos comprimentos de lados opostos é a mesma).
Para (a) vamos usar o fato de que a reta tangente em X é perpendicular a OX, e aplicar o Teorema de Pitágoras nos triângulos retos OXA e OYA.
Para (b) vamos rotular os pontos de tangência em cada lado de ABCD e usar a igualdade dos segmentos tangentes a partir de cada vértice.

Passo 2

(a) Sejam X e Y pontos distintos em C (não antipodais) e A a interseção das tangentes em X e em Y.
Como a tangente em X é ortogonal a OX, temos
OX perp AX
e análogamente
OY perp AY
Logo os triângulos OXA e OYA são retângulos em X e Y. Pelo Teorema de Pitágoras:
OA^2 = OX^2 + XA^2 e OA^2 = OY^2 + YA^2
Mas OX = OY é o raio de C. Então
OX^2 + XA^2 ;=; OY^2 + YA^2 ;Longrightarrow; XA^2 = YA^2 ;Longrightarrow; |XA| = |YA|

Passo 3

(b) Seja o quadrilátero ABCD tangencial a C. Marquemos os pontos de tangência assim:
P em AB,
Q em BC,
R em CD,
S em DA.
Pela propriedade dos tangentes, dos vértices A,B,C,D saem pares de segmentos iguais:
AP = AS,; BP = BQ,; CQ = CR,; DR = DS
Denotemos
;AP = AS = w,; BP = BQ = x,; CQ = CR = y,; DR = DS = z
Então os comprimentos dos lados são
AB = AP + BP = w + x, BC = BQ + CQ = x + y,
CD = CR + DR = y + z, DA = DS + AS = z + w
Assim
AB + CD = (w + x) + (y + z) e BC + DA = (x + y) + (z + w),
e claramente
AB + CD = BC + DA

Resposta

(a) |XA| = |YA|.
(b) |AB| + |CD| = |BC| + |DA|.

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