Exercício 3. Seja uma circunferência com origem e um ponto de , a reta tangente de no é a reta que passa por com direção ortogonal ao vetor . Um quadrilátero é circunscritível a uma circunferência , se todos seus quatro lados são tangente a C.
(a) Mostre que se e são dois pontos diferentes no a circunferência que não é opostos e o ponto de interseção das retas tangentes da circunferência nos pontos e , então .
(b) Se o quadrilátero A B C D é circunscritível mostre que as soma de comprimento de quaisquer dois lados opostos é igual a soma de comprimento dos outros dois lados opostos
Passo 1
O enunciado trata de duas ideias principais de geometria do círculo:
Propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência a partir de um ponto externo (dois segmentos tangentes a partir de um mesmo ponto têm igual comprimento).
Teorema de Pitot para quadriláteros circunscritos (a soma dos comprimentos de lados opostos é a mesma).
Para (a) vamos usar o fato de que a reta tangente em X é perpendicular a OX, e aplicar o Teorema de Pitágoras nos triângulos retos OXA e OYA.
Para (b) vamos rotular os pontos de tangência em cada lado de ABCD e usar a igualdade dos segmentos tangentes a partir de cada vértice.
Passo 2
(a) Sejam X e Y pontos distintos em C (não antipodais) e A a interseção das tangentes em X e em Y.
Como a tangente em X é ortogonal a OX, temos
OX perp AX
e análogamente
OY perp AY
Logo os triângulos OXA e OYA são retângulos em X e Y. Pelo Teorema de Pitágoras: