Exercício 3.10.7. Dadas as matrizes
A=(cc 0 & -2 1 & 0 ) B=(ll 4 & 1 1 & 1 )
a) escrever as matrizes: (A+B)^2 e A^2+B^2+2 A B;
b) estabelecer se existe uma matriz X in M2(R) tal que A X=I (one I indica a matriz unidade em M2(R) );
c) estabelecer se existe uma matriz X in M2(R) tal que A X=B.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=0 & -2 1 & 0, B=4 & 1 1 & 1
e pede:
a) comparar (A+B)^2 com A^2+B^2+2AB;
b) ver se existe X tal que AX=I;
c) ver se existe X tal que AX=B.

Passo 2

Calcular A+B e depois (A+B)^2.
A+B=0 & -21 & 0 +4 & 11 & 1 =4 & -12 & 1,
(A+B)^2 =4 & -12 & 1 4 & -12 & 1 =14 & -510 & -1

Passo 3

Calcular A^2, B^2 e AB.
A^2 =0 & -21 & 0 0 & -21 & 0 =-2 & 00 & -2,
B^2 =4 & 11 & 1 4 & 11 & 1 =17 & 55 & 2,
AB =0 & -21 & 0 4 & 11 & 1 =-2 & -24 & 1

Passo 4

Formar A^2+B^2+2AB e comparar com (A+B)^2.
A^2+B^2+2AB =-2 & 00 & -2 +17 & 55 & 2 +2-2 & -24 & 1 =11 & 113 & 2
Como
,(A+B)^2=14 & -510 & -1neq 11 & 113 & 2 =A^2+B^2+2AB, vemos que (A+B)^2neq A^2+2AB+B^2, pois ABneq BA.

Passo 5

Verificar se existe X tal que AX=I. Basta calcular det(A):
det(A)=0cdot0-(-2)cdot1=2neq0,
então A é invertível e existe X=A^-1. Pela fórmula
A^-1=1det(A) 0 & 2-1 & 0 =0 & 1-tfrac12 & 0,
de modo que AX=I.

Passo 6

Resolver AX=B. Como A é invertível, basta
X=A^-1B =0 & 1-tfrac12 & 0 4 & 11 & 1 =1 & 1-2 & -tfrac12
Logo essa X satisfaz AX=B.

Resposta

a) (A+B)^2=14 & -510 & -1, A^2+B^2+2AB=11 & 113 & 2
b) det(A)=2neq0, logo existe X=A^-1=0 & 1-tfrac12 & 0 tal que AX=I.
c) Existe X tal que AX=B, dado por
X=A^-1B=1 & 1-2 & -tfrac12

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