Exercício 10. Decomponha o vetor \vec{v}=(2,0,-3) como soma de dois vetores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} de modo que \vec{v}_{1} seja paralelo a \vec{w}=(1,2,1) e \vec{v}_{2} seja ortogonal a \vec{w}.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor \vec{v} = (2,0,-3) como soma de dois vetores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} tais que:
  1. \vec{v}_{1} seja paralelo ao vetor \vec{w} = (1,2,1).
  2. \vec{v}_{2} seja ortogonal (perpendicular) a \vec{w}.
Informações dadas:
\vec{v}=(2,0,-3) e \vec{w}=(1,2,1).
O que precisamos encontrar: \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} tais que
\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2},\quad \vec{v}_{1}\parallel\vec{w},\quad \vec{v}_{2}\perp\vec{w}.

Passo 2

Entendimento da condição “paralelo” e “ortogonal”: se \vec{v}_{1} é paralelo a \vec{w}, então existe um número (escala) \alpha tal que
\vec{v}_{1}=\alpha\,\vec{w}.
Se \vec{v}_{2} é ortogonal a \vec{w}, então o produto escalar entre eles é zero:
\vec{v}_{2}\cdot\vec{w}=0.
Como queremos \vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, podemos escrever \vec{v}_{2}=\vec{v}-\vec{v}_{1}. Substituindo, a condição de ortogonalidade vira
(\vec{v}-\vec{v}_{1})\cdot\vec{w}=0.

Passo 3

Agora vamos usar \vec{v}_{1}=\alpha\vec{w} dentro da condição de ortogonalidade:
(\vec{v}-\alpha\vec{w})\cdot\vec{w}=0.
Distribuindo o produto escalar e usando linearidade:
\vec{v}\cdot\vec{w}-\alpha(\vec{w}\cdot\vec{w})=0.
Dessa igualdade isolamos \alpha:
\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}.
Explicação do produto escalar (para quem está inseguro): o produto escalar entre dois vetores (a,b,c) e (x,y,z) é
(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz.
Nesse caso, \vec{v}\cdot\vec{w} é um número (scala) e \vec{w}\cdot\vec{w} é o quadrado do comprimento de \vec{w} (também um número). A fórmula acima é justamente a razão que dá o múltiplo escalar \alpha para projetar \vec{v} na direção de \vec{w}.

Passo 4

Calculemos os produtos escalares numéricos:
Primeiro,
\vec{v}\cdot\vec{w}=(2,0,-3)\cdot(1,2,1)=2\cdot1+0\cdot2+(-3)\cdot1.
Fazendo as multiplicações:
2\cdot1=2,\quad 0\cdot2=0,\quad (-3)\cdot1=-3.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{w}=2+0-3=-1.
Em seguida,
\vec{w}\cdot\vec{w}=(1,2,1)\cdot(1,2,1)=1^2+2^2+1^2=1+4+1=6.

Passo 5

Com os valores obtidos, calculamos \alpha:
\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}=\frac{-1}{6}=-\tfrac{1}{6}.

Passo 6

Agora obtemos \vec{v}_{1} usando \vec{v}_{1}=\alpha\vec{w}:
\vec{v}_{1}=-\tfrac{1}{6}\,(1,2,1)=\bigl(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{2}{6},-\tfrac{1}{6}\bigr).
Simplificando as frações:
\vec{v}_{1}=\bigl(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{6}\bigr).

Passo 7

Calculamos \vec{v}_{2} por subtração: \vec{v}_{2}=\vec{v}-\vec{v}_{1}.
Fazendo componente a componente:
\vec{v}_{2}=(2,0,-3)-\bigl(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{6}\bigr).
Isto é:
\vec{v}_{2}=\bigl(2+\tfrac{1}{6},\;0+\tfrac{1}{3},\;-3+\tfrac{1}{6}\bigr).
Convertendo para frações com denominador 6 para facilitar:
2+\tfrac{1}{6}=\tfrac{12}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{13}{6},
0+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3},
-3+\tfrac{1}{6}=-\tfrac{18}{6}+\tfrac{1}{6}=-\tfrac{17}{6}.
Logo
\vec{v}_{2}=\bigl(\tfrac{13}{6},\tfrac{1}{3},-\tfrac{17}{6}\bigr).

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): verificar que \vec{v}_{1} é múltiplo de \vec{w} e que \vec{v}_{2}\cdot\vec{w}=0.
Mostramos que \vec{v}_{1}=-\tfrac{1}{6}\vec{w} (já construído), logo é paralelo.
Calculemos \vec{w}\cdot\vec{v}_{2}:
(1,2,1)\cdot\bigl(\tfrac{13}{6},\tfrac{1}{3},-\tfrac{17}{6}\bigr)=\tfrac{13}{6}+2\cdot\tfrac{1}{3}-\tfrac{17}{6}.
Calculando 2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{6}, então
\tfrac{13}{6}+\tfrac{4}{6}-\tfrac{17}{6}=0.
Portanto \vec{v}_{2}\cdot\vec{w}=0 \vec{v}_{2} é ortogonal a \vec{w}. Tudo confere.

Resposta

\vec{v}_{1}=\bigl(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{6}\bigr)
\vec{v}_{2}=\bigl(\tfrac{13}{6},\tfrac{1}{3},-\tfrac{17}{6}\bigr)

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