Exercício 10. Decomponha o vetor
como soma de dois vetores
e
de modo que
seja paralelo a
e
seja ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado pede para decompor o vetor
como soma de dois vetores
e
tais que:
-
seja paralelo ao vetor . -
seja ortogonal (perpendicular) a .
Informações dadas:
e
.
O que precisamos encontrar:
e
tais que
Passo 2
Entendimento da condição “paralelo” e “ortogonal”: se
é paralelo a
, então existe um número (escala)
tal que
Se
é ortogonal a
, então o produto escalar entre eles é zero:
Como queremos
, podemos escrever
. Substituindo, a condição de ortogonalidade vira
Passo 3
Agora vamos usar
dentro da condição de ortogonalidade:
Distribuindo o produto escalar e usando linearidade:
Dessa igualdade isolamos
:
Explicação do produto escalar (para quem está inseguro): o produto escalar entre dois vetores
e
é
Nesse caso,
é um número (scala) e
é o quadrado do comprimento de
(também um número). A fórmula acima é justamente a razão que dá o múltiplo escalar
para projetar
na direção de
.
Passo 4
Calculemos os produtos escalares numéricos:
Primeiro,
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Em seguida,
Passo 5
Com os valores obtidos, calculamos
:
Passo 6
Agora obtemos
usando
:
Simplificando as frações:
Passo 7
Calculamos
por subtração:
.
Fazendo componente a componente:
Fazendo componente a componente:
Isto é:
Convertendo para frações com denominador
para facilitar:
Logo
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): verificar que
é múltiplo de
e que
.
Mostramos que
(já construído), logo é paralelo.
Calculemos
:
Calculando
, então
Portanto
—
é ortogonal a
. Tudo confere.