Exercício 12. Considere os pontos A=(3,0,2), B=(4,3,0) e C=(8,1,-1).
a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto?
b) Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.
c) Calcule proj \underset{B A}{\longrightarrow} \overrightarrow{B C}.
d) Qual a altura do paralelogramo A B C D relativa à base A B ?

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(3,0,2), B=(4,3,0) e C=(8,1,-1) e pede quatro coisas:
  1. Mostrar que A,B,C formam um triângulo retângulo e dizer em qual vértice está o ângulo reto.
  2. Determinar o ponto D tal que A,B,C,D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.
  3. Calcular \operatorname{proj}_{\overrightarrow{BA}}\overrightarrow{BC} (a projeção de \overrightarrow{BC} sobre \overrightarrow{BA}; se você interpretar de outra forma — proj de \overrightarrow{BA} sobre \overrightarrow{BC} — o resultado será o mesmo neste caso, como veremos).
  4. Calcular a altura do paralelogramo ABCD relativa à base AB.
As informações relevantes (as coordenadas) estão anotadas acima e serão usadas para formar vetores e aplicar produto escalar, norma e fórmula de projeção.

Passo 2

Vou obter os vetores relevantes (lembre: o vetor que vai de P até Q é \overrightarrow{PQ}=Q-P, componente a componente).
\overrightarrow{AB}=B-A=(4-3,\;3-0,\;0-2)=(1,3,-2).
\overrightarrow{AC}=C-A=(8-3,\;1-0,\;-1-2)=(5,1,-3).
\overrightarrow{BC}=C-B=(8-4,\;1-3,\;-1-0)=(4,-2,-1).
Mostrei cada subtração componente a componente para você poder fazer igual na prova.

Passo 3

Agora vamos verificar perpendicularidade com o produto escalar. Mini-aula rápida sobre produto escalar:
  • Para vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Geometricamente, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Assim, se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 e nenhum dos vetores for o vetor zero, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ: os vetores são perpendiculares.
Vamos calcular produtos escalares entre os vetores dos lados do triângulo. Primeiro \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= (1)\cdot(5) + (3)\cdot(1) + (-2)\cdot(-3)=5+3+6=14.
Como deu 14\neq 0, \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são perpendiculares. Agora \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(1)\cdot(4) + (3)\cdot(-2) + (-2)\cdot(-1)=4-6+2=0.
Como o produto escalar é 0, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} são perpendiculares. Note que \overrightarrow{AB} parte de A para B e \overrightarrow{BC} parte de B para C; a perpendicularidade entre esses dois vetores significa que o ângulo do triângulo que tem vértice em B é reto. Portanto, o triângulo ABC é retângulo em B.

Passo 4

Agora vamos achar o ponto D tal que A,B,C,D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo (ordem A\to B\to C\to D\to A). Propriedade chave: em um paralelogramo os lados opostos são vetores iguais. Assim, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} (ou equivalentemente \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}).
Usando \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
D=A+\overrightarrow{BC}.
Como já calculei \overrightarrow{BC}=(4,-2,-1), tenho
D=(3,0,2)+(4,-2,-1)=(3+4,\;0-2,\;2-1)=(7,-2,1).
Verificação rápida (opcional na prova): calcular C-\overrightarrow{AB}=C-\bigl(1,3,-2\bigr)=(8-1,1-3,-1+2)=(7,-2,1), mesmo resultado — consistente.

Passo 5

Agora a projeção pedida. Mini-aula sobre projeção de vetores:
  • A projeção do vetor \mathbf{v} sobre o vetor \mathbf{u} (denotada \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}) é o vetor dado por
\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2}\,\mathbf{u}.
  • Intuitivamente, é a “sombra” de \mathbf{v} na direção de \mathbf{u}. Se \mathbf{v} for perpendicular a \mathbf{u}, então \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}=0 e a projeção é o vetor zero.
Aqui queremos \operatorname{proj}_{\overrightarrow{BA}}\overrightarrow{BC}. Primeiro escrevo \overrightarrow{BA}=A-B. Já sabemos \overrightarrow{AB}=(1,3,-2), então
\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(-1,-3,2).
Calculei antes \overrightarrow{BC}=(4,-2,-1). O produto escalar entre eles é
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}= (4)(-1)+(-2)(-3)+(-1)(2)=-4+6-2=0.
Como o produto escalar é 0, a projeção é o vetor zero:
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{BA}}\overrightarrow{BC}=\mathbf{0}=(0,0,0).
Observação: se alguém interpretasse a questão como \operatorname{proj}_{\overrightarrow{BC}}\overrightarrow{BA} (projeção de \overrightarrow{BA} sobre \overrightarrow{BC}), o produto escalar também seria 0 e a projeção também daria \mathbf{0}. Portanto não há ambiguidade no resultado.

Passo 6

Altura do paralelogramo ABCD relativa à base AB.
Mini-aula curta: A altura h relativa à base \overline{AB} é a distância entre as retas paralelas que contêm os lados opostos do paralelogramo; se um lado adjacente ( \overrightarrow{BC} ou \overrightarrow{AD}) for perpendicular à base, então a altura é simplesmente o comprimento desse lado adjacente. Em geral, se \theta é o ângulo entre \overrightarrow{AB} (base) e \overrightarrow{BC} (lado adjacente), então
h=|\overrightarrow{BC}|\sin\theta,
mas como já demonstramos que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} são perpendiculares ( \theta=90^\circ), temos \sin\theta=1 e
h=|\overrightarrow{BC}|.
Calculando a norma de \overrightarrow{BC}=(4,-2,-1):
|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.
Portanto a altura relativa à base AB é \sqrt{21}.

Resposta

a) O triângulo ABC é retângulo em B.
b) D=(7,-2,1).
c) \operatorname{proj}_{\overrightarrow{BA}}\overrightarrow{BC}=(0,0,0).
d) Altura relativa à base AB: \sqrt{21}.

Exercícios relacionados