Exercício 0.10 Efetue as operações a seguir.
(4 \sqrt{8}-2 \sqrt{18}) / \sqrt[3]{2}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a operação
\frac{4\sqrt{8}-2\sqrt{18}}{\sqrt[3]{2}}.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
8,\;18,\;\sqrt{\,\cdot\,},\;\sqrt[3]{\,\cdot\,},\;4,\;2.
Não vamos resolver ainda — apenas identificamos a expressão a simplificar.

Passo 2

Vamos simplificar \sqrt{8}. Usamos a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a,b\ge0. Como 8=4\cdot2, temos
\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=\sqrt{4}\,\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Explicando: \sqrt{4}=2 porque 2^2=4.

Passo 3

Agora simplificamos \sqrt{18}. Como 18=9\cdot2, aplicando a mesma propriedade,
\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{9}\,\sqrt{2}=3\sqrt{2}.
Explicando: \sqrt{9}=3 porque 3^2=9.

Passo 4

Substituímos as simplificações no numerador:
4\sqrt{8}-2\sqrt{18}=4\cdot(2\sqrt{2})-2\cdot(3\sqrt{2}).
Calculando cada produto:
4\cdot(2\sqrt{2})=8\sqrt{2},\qquad 2\cdot(3\sqrt{2})=6\sqrt{2}.
Portanto
4\sqrt{8}-2\sqrt{18}=8\sqrt{2}-6\sqrt{2}=(8-6)\sqrt{2}=2\sqrt{2}.

Passo 5

A expressão inteira vira
\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}}.
Para manipular radicais com diferentes índices é conveniente passar para potências fracionárias, usando a regra \sqrt[n]{a}=a^{1/n}. Assim:
\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}.
Substituindo:
\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}}= \frac{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{3}}}.

Passo 6

Usamos a lei dos expoentes para potências de mesma base:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aplicando em 2^{\frac{1}{2}}/2^{\frac{1}{3}}:
2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{6}},
porque \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}.
Logo
\frac{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{3}}}=2\cdot 2^{\frac{1}{6}}.

Passo 7

Podemos apresentar formas equivalentes e explicar o que significam:
2\cdot 2^{\frac{1}{6}}=2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{7}{6}},
e também
2\cdot 2^{\frac{1}{6}}=2\sqrt[6]{2}=\sqrt[6]{2^{7}}=\sqrt[6]{128}.
Escolha a forma que preferir; todas estão corretas e equivalentes.

Resposta

2\sqrt[6]{2}

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