Exercício 0.10 Efetue as operações a seguir.
(2 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})(5 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})

Passo 1

O enunciado pede para efetuar o produto entre dois binômios que contêm radicais:
(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(5\sqrt{3}-2\sqrt{2}).
Informações dadas: os dois parênteses são expressões lineares em \sqrt{3} e \sqrt{2}. A tarefa é calcular o produto e simplificar o resultado.

Passo 2

Vamos usar a propriedade distributiva (também chamada de método FOIL para binômios): se temos (a+b)(c+d), então
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Aqui cada símbolo representa um termo; ao aplicar a fórmula multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo parêntese e somamos os resultados. Isso funciona também quando os termos envolvem radicais.

Passo 3

Multiplicamos os termos “primeiros”:
2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}.
Usamos a propriedade dos radicais \sqrt{r}\sqrt{s}=\sqrt{rs} e que \sqrt{3}\sqrt{3}=\sqrt{9}=3. Portanto
2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}=10\cdot(\sqrt{3}\sqrt{3})=10\cdot 3=30.

Passo 4

Multiplicamos os termos “externos”:
2\sqrt{3}\cdot(-2\sqrt{2}).
Aplicando \sqrt{3}\sqrt{2}=\sqrt{6} obtemos
2\sqrt{3}\cdot(-2\sqrt{2})=-4\sqrt{6}.

Passo 5

Multiplicamos os termos “internos”:
3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{3}.
De novo \sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}, então
3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{3}=15\sqrt{6}.

Passo 6

Multiplicamos os termos “últimos”:
3\sqrt{2}\cdot(-2\sqrt{2}).
Aqui \sqrt{2}\sqrt{2}=\sqrt{4}=2, logo
3\sqrt{2}\cdot(-2\sqrt{2})=-6\cdot(\sqrt{2}\sqrt{2})=-6\cdot 2=-12.

Passo 7

Agora somamos todos os quatro resultados:
30 + (-4\sqrt{6}) + 15\sqrt{6} + (-12).
Agrupamos as partes que são números e as que têm o mesmo radical (termos semelhantes):
(30-12)+(-4\sqrt{6}+15\sqrt{6})=18+11\sqrt{6}.
Explicando: termos com \sqrt{6} são “semelhantes” entre si e somam seus coeficientes -4 e 15, dando 11.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, para confiar no resultado): aproximando \sqrt{3}\approx1,732 e \sqrt{2}\approx1,414,
(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})\approx 7,706,\qquad(5\sqrt{3}-2\sqrt{2})\approx 5,832,
produto aproximado \approx 44,94. Calculando 18+11\sqrt{6} com \sqrt{6}\approx2,449 dá também \approx 44,94, consistente com o resultado exato.

Resposta

18+11\sqrt{6}

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