Exercício 0.10 Efetue as operações a seguir.
(\sqrt{8}+\sqrt[3]{12}+\sqrt[4]{4}) / \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar (simplificar) a expressão
\frac{\sqrt{8}+\sqrt[3]{12}+\sqrt[4]{4}}{\sqrt{2}}.
Informações dadas:
\sqrt{8}, \sqrt[3]{12}, \sqrt[4]{4} são radicais e todo o somatório está dividido por \sqrt{2}. O objetivo é simplificar essa expressão, isto é, escrever num formato mais simples e reconhecível.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
representamos radicais como potências de expoente fracionário, porque aí podemos usar as regras das potências. A definição básica é
\sqrt[n]{x}=x^{1/n}.
Regras de potências que usaremos:
x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b},\qquad \frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b},\qquad (x^{a})^{b}=x^{ab}.
Também é útil lembrar que, quando temos a mesma raiz no numerador e no denominador, podemos juntar dentro da raiz:
\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}=\sqrt[n]{\frac{A}{B}}.
Vou aplicar essas ideias termo a termo (cada parcela do numerador dividida por \sqrt{2}), porque isso torna as contas diretas e fáceis de fazer sem calculadora.

Passo 3

Simplificação do primeiro termo \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}:
usar a regra do mesmo índice:
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2.
Explicação: \sqrt{8}=(8)^{1/2} e \sqrt{2}=(2)^{1/2}; dividindo com o mesmo expoente ficamos com (8/2)^{1/2}=(4)^{1/2}=2.

Passo 4

Simplificação do terceiro termo \dfrac{\sqrt[4]{4}}{\sqrt{2}}:
primeiro escrevo \sqrt[4]{4} como potência:
\sqrt[4]{4}=4^{1/4}.
Como 4=2^{2}, temos
4^{1/4}=(2^{2})^{1/4}=2^{2/4}=2^{1/2}=\sqrt{2}.
Agora dividindo por \sqrt{2}:
\frac{\sqrt[4]{4}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.
Resumo: o terceiro termo resulta em 1.

Passo 5

Simplificação do segundo termo \dfrac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt{2}} (a parte mais sutil):
escrevo em potências fracionárias
\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt{2}}=12^{1/3}\cdot 2^{-1/2}.
Para multiplicar potências com bases diferentes e combinar expoentes de forma conveniente, passo ambas para um mesmo índice comum. O mínimo comum múltiplo dos denominadores 3 e 2 é 6. Reescrevo os expoentes com denominador 6:
12^{1/3}=12^{2/6},\qquad 2^{-1/2}=2^{-3/6}.
Agora o produto fica
12^{2/6}\cdot 2^{-3/6}=\left(12^{2}\cdot 2^{-3}\right)^{1/6}.
Calculo dentro da sexta raiz:
12^{2}=144,\qquad 2^{3}=8,\qquad \text{logo } \;12^{2}\cdot 2^{-3}=\frac{144}{8}=18.
Portanto
\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt{2}}=\left(18\right)^{1/6}=\sqrt[6]{18}.
Observação: outra visão é pensar que estou escrevendo tudo como raízes de ordem 6, e aí ficou \sqrt[6]{18}. Não dá para simplificar mais porque 18 não é potência perfeita de 6.

Passo 6

Juntando os três resultados termos a termos:
primeiro termo deu 2 (Passo 3), segundo termo deu \sqrt[6]{18} (Passo 5) e terceiro termo deu 1 (Passo 4). Somando:
2+\sqrt[6]{18}+1=3+\sqrt[6]{18}.

Resposta

\;3+\sqrt[6]{18}

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