Exercício 0.10 Efetue as operações a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para efetuar (simplificar) a expressão
Informações dadas:
,
,
são radicais e todo o somatório está dividido por
. O objetivo é simplificar essa expressão, isto é, escrever num formato mais simples e reconhecível.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
representamos radicais como potências de expoente fracionário, porque aí podemos usar as regras das potências. A definição básica é
representamos radicais como potências de expoente fracionário, porque aí podemos usar as regras das potências. A definição básica é
Regras de potências que usaremos:
Também é útil lembrar que, quando temos a mesma raiz no numerador e no denominador, podemos juntar dentro da raiz:
Vou aplicar essas ideias termo a termo (cada parcela do numerador dividida por
), porque isso torna as contas diretas e fáceis de fazer sem calculadora.
Passo 3
Simplificação do primeiro termo
:
usar a regra do mesmo índice:
usar a regra do mesmo índice:
Explicação:
e
; dividindo com o mesmo expoente ficamos com
.
Passo 4
Simplificação do terceiro termo
:
primeiro escrevo como potência:
primeiro escrevo
Como
, temos
Agora dividindo por
:
Resumo: o terceiro termo resulta em
.
Passo 5
Simplificação do segundo termo
(a parte mais sutil):
escrevo em potências fracionárias
escrevo em potências fracionárias
Para multiplicar potências com bases diferentes e combinar expoentes de forma conveniente, passo ambas para um mesmo índice comum. O mínimo comum múltiplo dos denominadores
e
é
. Reescrevo os expoentes com denominador
:
Agora o produto fica
Calculo dentro da sexta raiz:
Portanto
Observação: outra visão é pensar que estou escrevendo tudo como raízes de ordem
, e aí ficou
. Não dá para simplificar mais porque
não é potência perfeita de
.
Passo 6
Juntando os três resultados termos a termos:
primeiro termo deu (Passo 3), segundo termo deu
(Passo 5) e terceiro termo deu
(Passo 4). Somando:
primeiro termo deu