Exercício 9. Um engenheiro mecânico está conduzindo um experimento para avaliar a resistência de um novo material composto que será usado em uma aplicação aeroespacial. Sabe-se que a probabilidade de uma peça do material não atender ao padrão de resistência é de 10 \%. O engenheiro planeja testar 15 peças do material composto. Seja X o número de peças que não atendem ao padrão de resistência. Responda às seguintes perguntas:
  1. Qual é a melhor distribuição de probabilidade para esse problema?
  2. Qual é a probabilidade de exatamente 2 peças não atenderem ao padrão de resistência?
  3. Qual é a probabilidade de no máximo 1 peça não atender ao padrão de resistência?
  4. Qual é o valor esperado e a variância do número de peças que não atendem ao padrão de resistência?

Passo 1

O enunciado diz que temos n=15 peças independentes e que a probabilidade de cada peça não atender ao padrão de resistência é p=0,1. Como estamos contando o número de “sucessos” (aqui, falhas) em ensaios independentes com mesma probabilidade, a distribuição apropriada é a binomial.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de exatamente 2 peças não atenderem ao padrão, usamos a fórmula da binomial:
P(X=2) = \binom{15}{2}\,(0,1)^{2}\,(0,9)^{13}.

Passo 3

A probabilidade de no máximo 1 peça não atender ao padrão é
P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1).
Calculamos cada termo:
P(X=0) = \binom{15}{0}\,(0,1)^{0}\,(0,9)^{15} = (0,9)^{15},
P(X=1) = \binom{15}{1}\,(0,1)^{1}\,(0,9)^{14} = 15\cdot0,1\cdot(0,9)^{14}.
Logo,
P(X \le 1) = (0,9)^{15} + 15\cdot0,1\cdot(0,9)^{14}.

Passo 4

Para uma binomial de parâmetros n e p, o valor esperado e a variância são
E[X] = n\,p,\quad \mathrm{Var}(X) = n\,p\,(1-p).
Aqui,
E[X] = 15 \times 0,1 = 1,5,
\mathrm{Var}(X) = 15 \times 0,1 \times 0,9 = 1,35.

Resposta

  1. A distribuição de probabilidade é a binomial de parâmetros n=15 e p=0,1.
  2. \displaystyle P(X=2)=\binom{15}{2}(0,1)^{2}(0,9)^{13}.
  3. \displaystyle P(X\le1)=(0,9)^{15}+15\cdot0,1\cdot(0,9)^{14}.
  4. E[X]=1,5 e \mathrm{Var}(X)=1,35.

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