Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=x^{3}-12 x+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^{3}-12x+1
Para isso vamos estudar:
– domínio;
– derivada primeira (monotonia e extremos locais);
– derivada segunda (concavidade e ponto de inflexão);
– interceptos e raízes;
– comportamento em x\to\pm\infty;
– então montar o esboço usando esses pontos-chave.

Passo 2

Domínio de f é todo \mathbb{R}.
Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=3x^{2}-12.
Para achar pontos críticos igualamos a zero:
3x^{2}-12=0\implies x^{2}=4\implies x=-2,\;x=2.
Fazendo o estudo de sinais de f':
– para x<-2, 3x^{2}-12>0 f cresce;
– para -2<x<2, 3x^{2}-12<0 f decresce;
– para x>2, 3x^{2}-12>0 f cresce.
Logo (-2,f(-2)) é máximo local e (2,f(2)) é mínimo local.
Calculamos
f(-2)=(-2)^{3}-12(-2)+1=-8+24+1=17,
f(2)=2^{3}-12\cdot2+1=8-24+1=-15.

Passo 3

Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=6x.
Para concavidade, resolvemos f''(x)=0\implies x=0.
– se x<0, f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo;
– se x>0, f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
Há um ponto de inflexão em (0,f(0))=(0,1).

Passo 4

Intercepto em y: f(0)=1, então (0,1).
Raízes de f(x)=0 (aproximações numéricas):
x\approx -3{,}506,\quad x\approx 0{,}084,\quad x\approx 3{,}423.

Passo 5

Comportamento para x\to+\infty: f(x)\to+\infty.
Para x\to-\infty: f(x)\to-\infty.
Unindo tudo, a curva cresce até -2, atinge máximo em (-2,17), desce até 2, atinge mínimo em (2,-15), muda de concavidade em (0,1) e depois cresce indefinidamente cruzando o eixo x nas raízes approximadas.

Resposta

O esboço apresenta—além de nenhuma assíntota—os pontos: máximo local em (-2,17), inflexão em (0,1), mínimo local em (2,-15), e interceptos em x\approx -3{,}506, 0{,}084 e 3{,}423. A curva cresce para x<-2, decresce no intervalo (-2,2), e cresce para x>2, com mudança de concavidade em x=0.

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