Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Para isso vamos estudar:
– domínio;
– derivada primeira (monotonia e extremos locais);
– derivada segunda (concavidade e ponto de inflexão);
– interceptos e raízes;
– comportamento em ;
– então montar o esboço usando esses pontos-chave.
– domínio;
– derivada primeira (monotonia e extremos locais);
– derivada segunda (concavidade e ponto de inflexão);
– interceptos e raízes;
– comportamento em
– então montar o esboço usando esses pontos-chave.
Passo 2
Domínio de
é todo
.
Calculamos a derivada primeira:
Calculamos a derivada primeira:
Para achar pontos críticos igualamos a zero:
Fazendo o estudo de sinais de
:
– para ,
⇒
cresce;
– para ,
⇒
decresce;
– para ,
⇒
cresce.
Logo é máximo local e
é mínimo local.
Calculamos
– para
– para
– para
Logo
Calculamos
Passo 3
Calculamos a derivada segunda:
Para concavidade, resolvemos
.
– se ,
⇒ concavidade para baixo;
– se ,
⇒ concavidade para cima.
Há um ponto de inflexão em .
– se
– se
Há um ponto de inflexão em
Passo 4
Intercepto em
:
, então
.
Raízes de (aproximações numéricas):
Raízes de
Passo 5
Comportamento para
:
.
Para :
.
Unindo tudo, a curva cresce até , atinge máximo em
, desce até
, atinge mínimo em
, muda de concavidade em
e depois cresce indefinidamente cruzando o eixo
nas raízes approximadas.
Para
Unindo tudo, a curva cresce até
Resposta
O esboço apresenta—além de nenhuma assíntota—os pontos: máximo local em
, inflexão em
, mínimo local em
, e interceptos em
,
e
. A curva cresce para
, decresce no intervalo
, e cresce para
, com mudança de concavidade em
.