Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo é análise de uma função racional: vamos determinar domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonia, concavidade e pontos de inflexão para depois desenhar o esboço.
Passo 2
Domínio: o denominador
é sempre positivo para todo
, pois
implica
.
Logo, o domínio é e não há assíntotas verticais.
Logo, o domínio é
Passo 3
Interceptos:
– Intercepto em : basta
,
– Intercepto em
– Interceptos em
: resolver
. Como o numerador é constante
, não há raízes, logo não há intercepto em
.
Passo 4
Simetria:
A função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
.
Passo 5
Assíntota horizontal:
Para ,
, então
Para
Logo,
é assíntota horizontal, e a curva aproxima-se de
sempre pelo lado positivo.
Passo 6
Monotonia: calcule a derivada
–
somente em
.
– Para ,
(função crescente).
– Para ,
(função decrescente).
Logo há um máximo em .
– Para
– Para
Logo há um máximo em
Passo 7
Valor do máximo:
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão: derive de novo
–
para
: concavidade para baixo.
– para
: concavidade para cima.
Pontos de inflexão em , com
–
Pontos de inflexão em
Passo 9
Resumo para o esboço:
– Domínio: .
– Simetria: par.
– Máximo em .
– Inflexões em e
.
– Nenhum -intercepto; intercepto em
em
.
– Assíntota horizontal ; sempre
.
– Cresce em e decresce em
; muda concavidade em
.
– Domínio:
– Simetria: par.
– Máximo em
– Inflexões em
– Nenhum
– Assíntota horizontal
– Cresce em
Resposta
O gráfico é uma curva suave, simétrica em relação ao eixo
, com máximo em
, pontos de inflexão em
e assíntota horizontal em
.