Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=\frac{2}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = \frac{2}{x^{2} + 3}
O conteúdo é análise de uma função racional: vamos determinar domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonia, concavidade e pontos de inflexão para depois desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio: o denominador x^{2}+3 é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, pois x^{2}\ge0 implica x^{2}+3\ge3>0.
Logo, o domínio é \mathbb{R} e não há assíntotas verticais.

Passo 3

Interceptos:
– Intercepto em y: basta x=0,
f(0) = \frac{2}{0^{2}+3} = \frac{2}{3}.
– Interceptos em x: resolver 2/(x^{2}+3)=0. Como o numerador é constante 2\neq0, não há raízes, logo não há intercepto em x.

Passo 4

Simetria:
f(-x) = \frac{2}{(-x)^{2}+3} = \frac{2}{x^{2}+3} = f(x).
A função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo y.

Passo 5

Assíntota horizontal:
Para |x|\to\infty, x^{2}+3\sim x^{2}, então
f(x)\approx \frac{2}{x^{2}}\to 0^{+}.
Logo, y=0 é assíntota horizontal, e a curva aproxima-se de y=0 sempre pelo lado positivo.

Passo 6

Monotonia: calcule a derivada
f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(2(x^{2}+3)^{-1}\Bigr) = -2\cdot (x^{2}+3)^{-2}\cdot 2x = -\frac{4x}{(x^{2}+3)^{2}}.
f'(x)=0 somente em x=0.
– Para x<0, f'(x)>0 (função crescente).
– Para x>0, f'(x)<0 (função decrescente).
Logo há um máximo em x=0.

Passo 7

Valor do máximo:
f(0)=\frac{2}{3}.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão: derive de novo
f''(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-4x(x^{2}+3)^{-2}\Bigr) = \frac{12(x^{2}-1)}{(x^{2}+3)^{3}}.
f''(x)<0 para |x|<1: concavidade para baixo.
f''(x)>0 para |x|>1: concavidade para cima.
Pontos de inflexão em x=\pm1, com
f(\pm1) = \frac{2}{1+3} = \frac12.

Passo 9

Resumo para o esboço:
– Domínio: \mathbb{R}.
– Simetria: par.
– Máximo em (0,\tfrac23).
– Inflexões em \bigl(-1,\tfrac12\bigr) e \bigl(1,\tfrac12\bigr).
– Nenhum x-intercepto; intercepto em y em (0,\tfrac23).
– Assíntota horizontal y=0; sempre f(x)>0.
– Cresce em (-\infty,0) e decresce em (0,\infty); muda concavidade em x=\pm1.

Resposta

O gráfico é uma curva suave, simétrica em relação ao eixo y, com máximo em (0,\tfrac23), pontos de inflexão em \bigl(\pm1,\tfrac12\bigr) e assíntota horizontal em y=0.

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