Exercício 9 Calcule a derivada das funções a seguir
y(x)=e^{-x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada de
y(x)=e^{-x}\,\operatorname{sen} x
Aqui o conteúdo principal é a regra do produto de derivadas, além das derivadas básicas de e^{u} e de \operatorname{sen} x.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{-x},\quad v(x)=\operatorname{sen} x.
Pela regra do produto,
y'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Como
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x,
temos
y'(x)=\bigl(-e^{-x}\bigr)\operatorname{sen} x + e^{-x}\cos x.

Passo 3

Fatorando e^{-x}, obtemos
y'(x)=e^{-x}\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr).

Resposta

y'(x)=e^{-x}\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr).

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