Exercício 10. A impedância de um circuito RLC série é dada por:
onde
é a frequência angular em rad/s e
está em ohms.
- Aplique a regra do quociente para determinar
.
- Encontre
e discuta seu uso na análise de ressonância do circuito.
Passo 1
O enunciado dá a impedância de um circuito RLC série como
onde
é a frequência angular (rad/s) e
está em ohms. As duas perguntas são:
- Aplicar a regra do quociente para determinar
. - Encontrar
e discutir o uso dessa segunda derivada na análise de ressonância do circuito.
Informações relevantes do enunciado:
- A função dada é um quociente de polinômios: numerador
e denominador . - Devemos usar a regra do quociente para a primeira derivada e depois obter a segunda derivada.
- Note que
, logo apenas em para real; a função não está definida em . Em aplicações práticas normalmente consideramos .
Passo 2
Mini-aula (regra do quociente e derivadas de polinômios):
- Se
, a regra do quociente diz
Explicando cada símbolo:
é a derivada do numerador em relação a
,
é a derivada do denominador; o denominador da fração final é o quadrado do denominador original.
- Derivada de um polinômio: se
então . Aplicando isso ao nosso caso: - Numerador
. Derivando termo a termo:
- Denominador
. Derivando:
- Numerador
Agora que temos
, podemos aplicar a regra do quociente no passo seguinte.
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a regra do quociente.
Aplicando a fórmula:
Agora expandimos e simplificamos o numerador cuidadosamente.
Primeiro produto:
Segundo produto:
Subtraindo:
Portanto a primeira derivada simplificada é
Passo 4
Mini-aula (segunda derivada e técnica prática):
- Vamos derivar
com e . - Aplicar novamente a regra do quociente daria uma expressão com
no denominador; é útil notar que com . Então, usando , podemos simplificar um fator comum. Vou fazer isso para reduzir trabalho algébrico:
Calcule primeiras derivadas necessárias:
A regra do quociente para
dá
Fatorando um
em cima e cancelando com potências de
embaixo, obtemos a forma mais simples:
Agora substituímos e expandimos cuidadosamente.
Calcule
:
Calcule
:
Subtraindo (primeiro menos segundo):
Assim a segunda derivada simplificada é
ou, colocando um fator
em evidência,
Passo 5
Discussão didática sobre o uso de
e
na análise de ressonância (linguagem simples, passo a passo):
- O que significa
? - Zeros de
são frequências estacionárias da função : pontos onde a impedância tem um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para localizar essas frequências, resolve-se o numerador de :
- É um polinômio em
de grau 3 (se fizer ), então as raízes reais precisam ser buscadas por fatoração (se possível) ou por métodos numéricos. Em prova, se pedirem, às vezes basta escrever a equação a ser resolvida; se for necessário um valor numérico, usa-se métodos numéricos ou atenção a raízes simples.
- Zeros de
- Como usar
depois de achar uma raiz de ? - Se
é uma solução de , então: - Se
a função tem um mínimo local em . - Se
tem um máximo local. - Se
, pode ser inflexão ou caso degenerado (investigar derivadas superiores).
- Se
- Em um circuito RLC série típico, a ressonância é a frequência onde a impedância total (no caso real-ideal) atinge mínimo em módulo — para o circuito série ideal a ressonância corresponde a cancelamento das partes reativas (reatância indutiva e capacitiva se representadas separadamente) e resulta na impedância mínima igual à resistência pura. Portanto, encontrar um mínimo local de
(ou verificar o sinal de num ponto estacionário) pode identificar uma frequência de ressonância prática.
- Se
- Observações importantes e limites práticos:
- No problema real de circuitos, a impedância é geralmente complexa:
. A ressonância clássica em série é quando a parte imaginária . Aqui o enunciado forneceu uma função real (provavelmente já representando módulo ou um modelo reduzido); por isso a análise por derivadas de localiza extremos do valor real dado. - Como
, a única singularidade real é . Para (situação física), a função está bem definida exceto em . Em particular, ao procurar ressonância consideramos . - Se for preciso decidir se uma raiz de
é ressonância física, verifique: - que a raiz
é real e positiva; - que
para indicar mínimo (no caso que ressonância seja mínimo de ); ou, alternativamente, valide por análise direta da parte imaginária do impedance (se disponível).
- que a raiz
- No problema real de circuitos, a impedância é geralmente complexa:
- Dica prática para prova: escreva
claramente, aplique a regra do quociente com cuidado, simplifique passo a passo; para a segunda derivada, aproveitar fator comum (como fizemos ao reduzir potenciais) torna a álgebra muito mais manejável. Se o polinômio resultante para for de alto grau, explique que se usa métodos numéricos ou substituição para reduzir o problema.