Exercício 10. A impedância de um circuito RLC série é dada por:
Z(\omega)=\frac{4 \omega^{4}+3 \omega^{2}+5}{\omega^{3}+2 \omega}
onde \omega é a frequência angular em rad/s e Z está em ohms.
  1. Aplique a regra do quociente para determinar Z^{\prime}(\omega).
  2. Encontre Z^{\prime \prime}(\omega) e discuta seu uso na análise de ressonância do circuito.

Passo 1

O enunciado dá a impedância de um circuito RLC série como
Z(\omega)=\frac{4\omega^{4}+3\omega^{2}+5}{\omega^{3}+2\omega},
onde \omega é a frequência angular (rad/s) e Z está em ohms. As duas perguntas são:
  1. Aplicar a regra do quociente para determinar Z^{\prime}(\omega).
  2. Encontrar Z^{\prime\prime}(\omega) e discutir o uso dessa segunda derivada na análise de ressonância do circuito.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função dada é um quociente de polinômios: numerador N(\omega)=4\omega^{4}+3\omega^{2}+5 e denominador D(\omega)=\omega^{3}+2\omega.
  • Devemos usar a regra do quociente para a primeira derivada e depois obter a segunda derivada.
  • Note que D(\omega)=\omega(\omega^{2}+2), logo D(\omega)=0 apenas em \omega=0 para \omega real; a função não está definida em \omega=0. Em aplicações práticas normalmente consideramos \omega>0.

Passo 2

Mini-aula (regra do quociente e derivadas de polinômios):
  • Se Z(\omega)=\dfrac{N(\omega)}{D(\omega)}, a regra do quociente diz
Z'(\omega)=\frac{N'(\omega)D(\omega)-N(\omega)D'(\omega)}{\bigl(D(\omega)\bigr)^{2}}.
Explicando cada símbolo: N'(\omega) é a derivada do numerador em relação a \omega, D'(\omega) é a derivada do denominador; o denominador da fração final é o quadrado do denominador original.
  • Derivada de um polinômio: se p(\omega)=a\omega^{n} então p'(\omega)=a n \omega^{n-1}. Aplicando isso ao nosso caso:
    • Numerador N(\omega)=4\omega^{4}+3\omega^{2}+5. Derivando termo a termo:
    N'(\omega)=16\omega^{3}+6\omega.
    • Denominador D(\omega)=\omega^{3}+2\omega. Derivando:
    D'(\omega)=3\omega^{2}+2.
Agora que temos N, N', D, D', podemos aplicar a regra do quociente no passo seguinte.

Passo 3

Calcular Z'(\omega) passo a passo usando a regra do quociente.
Aplicando a fórmula:
Z'(\omega)=\frac{\bigl(16\omega^{3}+6\omega\bigr)\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)-\bigl(4\omega^{4}+3\omega^{2}+5\bigr)\bigl(3\omega^{2}+2\bigr)}{\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)^{2}}.
Agora expandimos e simplificamos o numerador cuidadosamente.
Primeiro produto:
(16\omega^{3}+6\omega)(\omega^{3}+2\omega)=16\omega^{6}+38\omega^{4}+12\omega^{2}.
Segundo produto:
(4\omega^{4}+3\omega^{2}+5)(3\omega^{2}+2)=12\omega^{6}+17\omega^{4}+21\omega^{2}+10.
Subtraindo:
\begin{aligned} &\bigl(16\omega^{6}+38\omega^{4}+12\omega^{2}\bigr)-\bigl(12\omega^{6}+17\omega^{4}+21\omega^{2}+10\bigr)\\\ &=4\omega^{6}+21\omega^{4}-9\omega^{2}-10. \end{aligned}
Portanto a primeira derivada simplificada é
\boxed{\,Z'(\omega)=\frac{4\omega^{6}+21\omega^{4}-9\omega^{2}-10}{\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)^{2}}\,}.

Passo 4

Mini-aula (segunda derivada e técnica prática):
  • Vamos derivar Z'(\omega)=\dfrac{U(\omega)}{V(\omega)} com U(\omega)=4\omega^{6}+21\omega^{4}-9\omega^{2}-10 e V(\omega)=(\omega^{3}+2\omega)^{2}.
  • Aplicar novamente a regra do quociente daria uma expressão com V^{2} no denominador; é útil notar que V=(D)^{2} com D=\omega^{3}+2\omega. Então, usando V'=2D D', podemos simplificar um fator comum. Vou fazer isso para reduzir trabalho algébrico:
Calcule primeiras derivadas necessárias:
U'(\omega)=24\omega^{5}+84\omega^{3}-18\omega,
D(\omega)=\omega^{3}+2\omega,\qquad D'(\omega)=3\omega^{2}+2,
V(\omega)=D(\omega)^{2},\qquad V'(\omega)=2D(\omega)D'(\omega).
A regra do quociente para Z'=\dfrac{U}{V}
Z''(\omega)=\frac{U'V-UV'}{V^{2}}.
Fatorando um D(\omega) em cima e cancelando com potências de V embaixo, obtemos a forma mais simples:
Z''(\omega)=\frac{(U'(\omega))D(\omega)-2U(\omega)D'(\omega)}{D(\omega)^{3}}.
Agora substituímos e expandimos cuidadosamente.
Calcule (U'(\omega))D(\omega):
(24\omega^{5}+84\omega^{3}-18\omega)(\omega^{3}+2\omega)=24\omega^{8}+132\omega^{6}+150\omega^{4}-36\omega^{2}.
Calcule 2U(\omega)D'(\omega):
2(4\omega^{6}+21\omega^{4}-9\omega^{2}-10)(3\omega^{2}+2)=24\omega^{8}+142\omega^{6}+30\omega^{4}-96\omega^{2}-40.
Subtraindo (primeiro menos segundo):
\begin{aligned} &\bigl(24\omega^{8}+132\omega^{6}+150\omega^{4}-36\omega^{2}\bigr)\\\ &\quad-\bigl(24\omega^{8}+142\omega^{6}+30\omega^{4}-96\omega^{2}-40\bigr)\\\ &=-10\omega^{6}+120\omega^{4}+60\omega^{2}+40. \end{aligned}
Assim a segunda derivada simplificada é
\boxed{\,Z''(\omega)=\frac{-10\omega^{6}+120\omega^{4}+60\omega^{2}+40}{\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)^{3}}\,}
ou, colocando um fator 10 em evidência,
\boxed{\,Z''(\omega)=\frac{10\bigl(-\omega^{6}+12\omega^{4}+6\omega^{2}+4\bigr)}{\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)^{3}}\,.}

Passo 5

Discussão didática sobre o uso de Z'(\omega) e Z''(\omega) na análise de ressonância (linguagem simples, passo a passo):
  • O que significa Z'(\omega)=0?
    • Zeros de Z'(\omega) são frequências estacionárias da função Z(\omega): pontos onde a impedância tem um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para localizar essas frequências, resolve-se o numerador de Z'(\omega):
    4\omega^{6}+21\omega^{4}-9\omega^{2}-10=0.
    • É um polinômio em \omega^{2} de grau 3 (se fizer t=\omega^{2}), então as raízes reais precisam ser buscadas por fatoração (se possível) ou por métodos numéricos. Em prova, se pedirem, às vezes basta escrever a equação a ser resolvida; se for necessário um valor numérico, usa-se métodos numéricos ou atenção a raízes simples.
  • Como usar Z''(\omega) depois de achar uma raiz de Z'(\omega)?
    • Se \omega_{0} é uma solução de Z'(\omega)=0, então:
      • Se Z''(\omega_{0})>0 a função Z(\omega) tem um mínimo local em \omega_{0}.
      • Se Z''(\omega_{0})<0 tem um máximo local.
      • Se Z''(\omega_{0})=0, pode ser inflexão ou caso degenerado (investigar derivadas superiores).
    • Em um circuito RLC série típico, a ressonância é a frequência onde a impedância total (no caso real-ideal) atinge mínimo em módulo — para o circuito série ideal a ressonância corresponde a cancelamento das partes reativas (reatância indutiva e capacitiva se representadas separadamente) e resulta na impedância mínima igual à resistência pura. Portanto, encontrar um mínimo local de Z(\omega) (ou verificar o sinal de Z'' num ponto estacionário) pode identificar uma frequência de ressonância prática.
  • Observações importantes e limites práticos:
    • No problema real de circuitos, a impedância é geralmente complexa: Z(\omega)=R+jX(\omega). A ressonância clássica em série é quando a parte imaginária X(\omega)=0. Aqui o enunciado forneceu uma função real Z(\omega) (provavelmente já representando módulo ou um modelo reduzido); por isso a análise por derivadas de Z(\omega) localiza extremos do valor real dado.
    • Como D(\omega)=\omega(\omega^{2}+2), a única singularidade real é \omega=0. Para \omega>0 (situação física), a função está bem definida exceto em \omega=0. Em particular, ao procurar ressonância consideramos \omega>0.
    • Se for preciso decidir se uma raiz de Z'(\omega) é ressonância física, verifique:
      1. que a raiz \omega_{0} é real e positiva;
      2. que Z''(\omega_{0})>0 para indicar mínimo (no caso que ressonância seja mínimo de Z); ou, alternativamente, valide por análise direta da parte imaginária do impedance (se disponível).
  • Dica prática para prova: escreva N,N',D,D' claramente, aplique a regra do quociente com cuidado, simplifique passo a passo; para a segunda derivada, aproveitar fator comum (como fizemos ao reduzir potenciais) torna a álgebra muito mais manejável. Se o polinômio resultante para Z'(\omega)=0 for de alto grau, explique que se usa métodos numéricos ou substituição t=\omega^{2} para reduzir o problema.

Resposta

Z'(\omega)=\displaystyle\frac{4\omega^{6}+21\omega^{4}-9\omega^{2}-10}{\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)^{2}}
Z''(\omega)=\displaystyle\frac{-10\omega^{6}+120\omega^{4}+60\omega^{2}+40}{\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)^{3}}=\displaystyle\frac{10\bigl(-\omega^{6}+12\omega^{4}+6\omega^{2}+4\bigr)}{\bigl(\omega^{3}+2\omega\bigr)^{3}}

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