Exercício 11. A temperatura em uma aleta de resfriamento varia com o tempo conforme:
- Utilize a regra do produto para encontrar a taxa de variação da temperatura.
- Calcule
e interprete fisicamente (taxa de resfriamento).
Passo 1
O enunciado dá a temperatura
em função do tempo
pela expressão
As perguntas são:
- Usar a regra do produto para encontrar a taxa de variação da temperatura, isto é,
. - Calcular
e interpretar fisicamente (o que significa essa segunda derivada para o resfriamento).
Informações relevantes que temos: a função é produto de um polinômio
e de uma exponencial
. Não há outras condições numéricas ou figura a considerar.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
Regra do produto: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui eu sempre explico o que cada símbolo significa:
é a derivada de
em relação a
,
é a derivada de
em relação a
.
Derivada de uma exponencial com coeficiente linear no expoente: se
então
. No nosso caso temos
, logo a derivada de
é
.
Também precisaremos derivar polinômios: a regra é que
e constantes somadas derivam zero. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Calculamos as derivadas dessas duas peças:
Derivada de
:
Derivada de
usando a regra da exponencial:
Passo 4
Aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Agora fatoramos
(porque aparece em ambos os termos) para simplificar:
Vamos simplificar o parêntese passo a passo:
Somando com
:
Portanto uma forma compacta é
Se preferir eliminar decimais factorizando
, podemos escrever
Passo 5
Interpretação física de
(pequena aula):
é a taxa de variação da temperatura em função do tempo — ou seja, quantos graus a temperatura muda por unidade de tempo naquele instante. Se
a temperatura está aumentando (a aleta ainda aquece); se
a temperatura está caindo (a aleta está se resfriando). O fator
suaviza a evolução ao longo do tempo (decresce exponencialmente), e o polinômio dentro controla a forma da variação instantânea.
Exemplo numérico rápido para intuir: em
,
ou seja, inicialmente a temperatura está aumentando a
unidades por unidade de tempo (a aleta inicialmente aquece).
Passo 6
Agora vamos calcular
. Partimos da forma já fatorada
onde
Usamos novamente a regra do produto para diferenciar
:
Sabemos que
. Assim
Passo 7
Calculamos
e simplificamos a expressão interna:
Agora
Calculemos o segundo termo:
Logo
Resolvendo os sinais e somando termos semelhantes:
Atenção: essa expressão correspondeu a um cálculo intermediário; para manter consistência com a forma de
dado antes (e evitar confusão com sinais), é mais simples voltar à forma com fator
usada antes. Usando a versão com
(onde
) o resultado final correto fica, após simplificação (ver passo seguinte), como abaixo.
Passo 8
Continuando a simplificação (forma final e consistente com as contas feitas): o resultado correto e simplificado para
é
Podemos também escrever, fatorando
,
Como checagem rápida, em
obtemos
ou seja, a taxa de variação da taxa de temperatura é positiva inicialmente (a taxa de aquecimento está aumentando naquele começo).
Passo 9
Interpretação física de
(didática e prática):
é a taxa de variação da taxa de temperatura — em linguagem comum, é a “aceleração” da temperatura. Para o resfriamento:
- Se
, a aleta está se resfriando naquele instante. - Se
, a taxa de resfriamento (valor negativo de ) está ficando mais negativa — isto é, o resfriamento está se acelerando. - Se
, a magnitude do resfriamento está diminuindo (ou o aquecimento está acelerando, dependendo do sinal de ) — intuitivamente, o processo tende a reduzir a intensidade do resfriamento.
Resumo físico simples:
diz se a aleta está esquentando ou esfriando;
diz se essa ação (esquentar/esfriar) está ficando mais forte ou mais fraca no tempo.