Exercício 9. A corrente através de um indutor varia com o tempo conforme:
- Utilize a regra do produto para encontrar
.
- Calcule
e interprete fisicamente (tensão no indutor e sua variação).
Passo 1
O enunciado dá a corrente
e pede duas coisas:
- Encontrar
usando a regra do produto. - Calcular
e interpretar fisicamente (qual é a tensão no indutor e como ela varia).
Informações relevantes fornecidas:
Não há valor de indutância
fornecido, então na interpretação física expressaremos a tensão em função de
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (aula rápida e prática):
- Regra do produto: se
então
Explique: diferenciamos uma função por vez, multiplicamos pela outra e somamos.
- Regra da cadeia (para funções compostas): se
então
No nosso caso
, então
.
Passo 3
Identificamos as partes para aplicar a regra do produto:
Calculemos as derivadas individuais:
onde usei a regra da cadeia explicada antes.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
obtemos
Isso já é a expressão final para
. Interpretação física imediata: a tensão no indutor (se a indutância for
) é
Passo 5
Agora vamos calcular
. É mais fácil organizar
como soma de dois termos e derivar termo a termo:
onde
Passo 6
Derivando
com a regra do produto (novamente):
Expliquei os passos: a derivada de
é
; a derivada de
é
.
Passo 7
Derivando
(com
):
Aplicamos a constante fora e a regra do produto a
:
Aplicamos a constante
Substituindo
e simplificando o sinal:
Aqui usei que a derivada de
é
e que
.
Passo 8
Somando
para obter
:
Agrupando termos semelhantes (os que multiplicam
e os que multiplicam
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto:
Passo 9
Interpretação física de
:
- A tensão no indutor é
. Como não foi dada , mantemos simbólico. - A taxa de variação da tensão é
. Ou seja, dá a velocidade com que a tensão muda no tempo (quanto mais alto , mais rápido muda ). - Observações qualitativas: a corrente tem uma parte polinomial
multiplicando uma oscilação de frequência . Assim, e combinam termos em e com coeficientes que variam com . Isso significa que a amplitude das oscilações da tensão cresce/decresce conforme o polinômio e seus derivados; mostra os picos e mudanças rápidas da tensão por causa do termo em (que tende a dominar para grande devido ao fator quadrático).