Exercício 9. A corrente através de um indutor varia com o tempo conforme:
I(t)=\left(t^{2}+3 t+1\right) \cdot \sin (2 \pi t)
  1. Utilize a regra do produto para encontrar I^{\prime}(t).
  2. Calcule I^{\prime \prime}(t) e interprete fisicamente (tensão no indutor e sua variação).

Passo 1

O enunciado dá a corrente
I(t) = \left(t^{2}+3t+1\right)\sin(2\pi t)
e pede duas coisas:
  1. Encontrar I'(t) usando a regra do produto.
  2. Calcular I''(t) e interpretar fisicamente (qual é a tensão no indutor e como ela varia).
Informações relevantes fornecidas:
I(t)=\bigl(t^{2}+3t+1\bigr)\sin(2\pi t).
Não há valor de indutância L fornecido, então na interpretação física expressaremos a tensão em função de L.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Regra do produto: se f(t)=u(t)\,v(t) então
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Explique: diferenciamos uma função por vez, multiplicamos pela outra e somamos.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se v(t)=\sin(g(t)) então
v'(t)=\cos(g(t))\cdot g'(t).
No nosso caso g(t)=2\pi t, então g'(t)=2\pi.

Passo 3

Identificamos as partes para aplicar a regra do produto:
u(t)=t^{2}+3t+1,\qquad v(t)=\sin(2\pi t).
Calculemos as derivadas individuais:
u'(t)=2t+3,
v'(t)=\cos(2\pi t)\cdot(2\pi)=2\pi\cos(2\pi t),
onde usei a regra da cadeia explicada antes.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
I'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u,u',v,v' obtemos
I'(t)=(2t+3)\sin(2\pi t)+(t^{2}+3t+1)\cdot 2\pi\cos(2\pi t).
Isso já é a expressão final para I'(t). Interpretação física imediata: a tensão no indutor (se a indutância for L) é
V_{L}(t)=L\,I'(t)=L\bigl[(2t+3)\sin(2\pi t)+2\pi(t^{2}+3t+1)\cos(2\pi t)\bigr].

Passo 5

Agora vamos calcular I''(t). É mais fácil organizar I'(t) como soma de dois termos e derivar termo a termo:
I'(t)=A(t)+B(t),
onde
A(t)=(2t+3)\sin(2\pi t),\qquad B(t)=2\pi(t^{2}+3t+1)\cos(2\pi t).

Passo 6

Derivando A(t) com a regra do produto (novamente):
A'(t)=(2)\sin(2\pi t)+(2t+3)\cdot 2\pi\cos(2\pi t).
Expliquei os passos: a derivada de 2t+3 é 2; a derivada de \sin(2\pi t) é 2\pi\cos(2\pi t).

Passo 7

Derivando B(t)=2\pi\cdot u(t)\cdot\cos(2\pi t) (com u(t)=t^{2}+3t+1):
Aplicamos a constante 2\pi fora e a regra do produto a u(t)\cos(2\pi t):
B'(t)=2\pi\bigl(u'(t)\cos(2\pi t)+u(t)\cdot(-2\pi\sin(2\pi t))\bigr).
Substituindo u'(t)=2t+3 e simplificando o sinal:
B'(t)=2\pi(2t+3)\cos(2\pi t)-4\pi^{2}(t^{2}+3t+1)\sin(2\pi t).
Aqui usei que a derivada de \cos(2\pi t) é -2\pi\sin(2\pi t) e que (2\pi)\cdot(2\pi)=4\pi^{2}.

Passo 8

Somando A'(t)+B'(t) para obter I''(t):
I''(t)=\bigl[2\sin(2\pi t)+(2t+3)\cdot 2\pi\cos(2\pi t)\bigr]+\bigl[2\pi(2t+3)\cos(2\pi t)-4\pi^{2}(t^{2}+3t+1)\sin(2\pi t)\bigr].
Agrupando termos semelhantes (os que multiplicam \sin(2\pi t) e os que multiplicam \cos(2\pi t)):
  • Coeficiente de \sin(2\pi t): 2 - 4\pi^{2}(t^{2}+3t+1).
  • Coeficiente de \cos(2\pi t): 2\pi(2t+3)+2\pi(2t+3)=4\pi(2t+3).
Portanto:
I''(t)=\bigl(2-4\pi^{2}(t^{2}+3t+1)\bigr)\sin(2\pi t)+4\pi(2t+3)\cos(2\pi t).

Passo 9

Interpretação física de I''(t):
  • A tensão no indutor é V_{L}(t)=L\,I'(t). Como não foi dada L, mantemos L simbólico.
  • A taxa de variação da tensão é \dfrac{dV_{L}}{dt}=L\,I''(t). Ou seja, I''(t) dá a velocidade com que a tensão muda no tempo (quanto mais alto I'', mais rápido muda V_{L}).
  • Observações qualitativas: a corrente tem uma parte polinomial (t^{2}+3t+1) multiplicando uma oscilação \sin(2\pi t) de frequência 1\\ \text{Hz}. Assim, I'(t) e I''(t) combinam termos em \sin(2\pi t) e \cos(2\pi t) com coeficientes que variam com t. Isso significa que a amplitude das oscilações da tensão cresce/decresce conforme o polinômio e seus derivados; I''(t) mostra os picos e mudanças rápidas da tensão por causa do termo em -4\pi^{2}(t^{2}+3t+1)\sin(2\pi t) (que tende a dominar para t grande devido ao fator quadrático).

Resposta

I'(t)=(2t+3)\sin(2\pi t)+2\pi(t^{2}+3t+1)\cos(2\pi t)
I''(t)=\bigl(2-4\pi^{2}(t^{2}+3t+1)\bigr)\sin(2\pi t)+4\pi(2t+3)\cos(2\pi t); a tensão no indutor é V_{L}(t)=L\,I'(t) e sua taxa de variação é \dfrac{dV_{L}}{dt}=L\,I''(t), ou seja, I''(t) mede quão rapidamente a tensão muda no tempo.

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