Exercício 10.
Mostre que se
tem distribuição
(qui-quadrado com
graus de liberdade), para
inteiro positivo, então
tem distribuição Gama(n,
).
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
tem distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade, ou seja
, então a variável
segue uma distribuição Gama com parâmetros
.
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas e identificação de densidade Gama.
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas e identificação de densidade Gama.
Passo 2
A densidade de probabilidade de
é, para
,
Aqui usamos que, em geral,
tem densidade
, e com
fica
.
Passo 3
Definimos a transformação
isto é,
. O jacobiano em valor absoluto é
Passo 4
Pela fórmula de transformação de densidade, para
,
Passo 5
Agora simplificamos:
logo
que é exatamente a densidade da Gama de forma
e taxa
.
Resposta
Portanto
.