Exercício 10.
Mostre que se X tem distribuição \chi^{2}{ }_{(2 n)} (qui-quadrado com 2 n graus de liberdade), para n inteiro positivo, então
Y=\frac{X}{2 \lambda}
tem distribuição Gama(n, \lambda ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X tem distribuição qui-quadrado com 2n graus de liberdade, ou seja X\sim\chi^2_{(2n)}, então a variável
Y = \frac{X}{2\lambda}
segue uma distribuição Gama com parâmetros \bigl(n,\lambda\bigr).
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas e identificação de densidade Gama.

Passo 2

A densidade de probabilidade de X\sim \chi^2_{(2n)} é, para x>0,
f_X(x) =\frac{1}{2^{\,n}\,\Gamma(n)} \,x^{\,n-1}\,e^{-x/2}.
Aqui usamos que, em geral, \chi^2_k tem densidade 1/(2^{k/2}\Gamma(k/2))\,x^{k/2-1}e^{-x/2}, e com k=2n fica k/2=n.

Passo 3

Definimos a transformação
Y = \frac{X}{2\lambda},
isto é, X = 2\lambda\,Y. O jacobiano em valor absoluto é
\Bigl|\frac{dx}{dy}\Bigr| =\bigl|2\lambda\bigr| =2\lambda.

Passo 4

Pela fórmula de transformação de densidade, para y>0,
f_Y(y) = f_X\bigl(2\lambda\,y\bigr)\;\Bigl|\frac{dx}{dy}\Bigr| = \frac{1}{2^{\,n}\Gamma(n)}\,(2\lambda y)^{n-1}e^{-(2\lambda y)/2}\;\cdot 2\lambda.

Passo 5

Agora simplificamos:
(2\lambda y)^{n-1}\cdot 2\lambda =(2\lambda)^n\,y^{n-1},
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f_Y(y) =\frac{(2\lambda)^n}{2^n\,\Gamma(n)}\,y^{n-1}\,e^{-\lambda y} =\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}\,y^{n-1}\,e^{-\lambda y},
que é exatamente a densidade da Gama de forma n e taxa \lambda.

Resposta

Portanto Y\sim \mathrm{Gama}\bigl(n,\lambda\bigr).

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