Exercício 11. Sejam X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são v. a’s. independentes com distribuição comum uniforme [ 0,1 ]. Mostre que
-2 n \log Y \sim \chi^{2}(2 n), \operatorname{com} Y=\left(\prod_{n}^{i=1} X_{i}\right)^{\frac{1}{n}},
isto é, Y é a média geométrica das \mathrm{X}_{\mathrm{i}}. (Sugestão: calcule a distribuição de \log \left(X_{1}\right), depois a dist. da soma.)

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são v.a.’s independentes com distribuição uniforme em [0,1] e define
Y=\Bigl(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\Bigr)^{\!1/n}
querendo mostrar que
-2n\log Y\sim\chi^{2}(2n).
O que vamos usar: transformação de variáveis (para achar a lei de \log X_{1}) e soma de variáveis independentes (reconhecer distribuição qui-quadrado).

Passo 2

Defina
U_{i}=-2\log X_{i}.
Para achar a densidade de U_{i}, observe que X_{i}=e^{-U_{i}/2}. Como f_{X}(x)=1 para 0<x<1 e
\frac{dx}{du}=\frac{d}{du}e^{-u/2}=-\tfrac12e^{-u/2},
temos, para u>0,
f_{U_{i}}(u) =f_{X}\bigl(e^{-u/2}\bigr)\Bigl|\tfrac{dx}{du}\Bigr| =1\cdot\frac12e^{-u/2} =\frac12e^{-u/2}.
Essa é exatamente a densidade de \chi^{2}(2) (ou seja, de uma exponencial com parâmetro 1/2).

Passo 3

Como U_{1},\dots,U_{n} são independentes e cada uma tem distribuição \chi^{2}(2), a soma
S=\sum_{i=1}^{n}U_{i}
tem distribuição \chi^{2}(2n), pois soma de qui-quadrados independentes soma os graus de liberdade.

Passo 4

Repare que
S=\sum_{i=1}^{n}U_{i} =\sum_{i=1}^{n}\bigl(-2\log X_{i}\bigr) =-2\sum_{i=1}^{n}\log X_{i} =-2n\;\frac1n\sum_{i=1}^{n}\log X_{i} =-2n\log Y.
Logo S=-2n\log Y.

Resposta

-2n\log Y\sim\chi^{2}(2n).

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