Exercício 11. Sejam X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são v. a’s. independentes com distribuição comum uniforme [ 0,1 ]. Mostre que
-2 n \log Y \sim \chi^{2}(2 n), \operatorname{com} Y=\left(\prod_{n}^{i=1} X_{i}\right)^{\frac{1}{n}},
isto é, Y é a média geométrica das \mathrm{X}_{\mathrm{i}}. (Sugestão: calcule a distribuição de \log \left(X_{1}\right), depois a dist. da soma.)
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são v.a.’s independentes com distribuição uniforme em [0,1] e define
Y=\Bigl(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\Bigr)^{\!1/n}
querendo mostrar que
-2n\log Y\sim\chi^{2}(2n).
O que vamos usar: transformação de variáveis (para achar a lei de \log X_{1}) e soma de variáveis independentes (reconhecer distribuição qui-quadrado).
Passo 2
Defina
U_{i}=-2\log X_{i}.
Para achar a densidade de U_{i}, observe que X_{i}=e^{-U_{i}/2}. Como f_{X}(x)=1 para 0<x<1 e