Exercício 9…A função de densidade conjunta de Xe Y é dada por:
(a) Determine o valor de c.
(b) Determine as funções de densidade marginal de Xe Y .
(c) Calcule a
.
(b) Determine as funções de densidade marginal de Xe Y .
(c) Calcule a
Passo 1
O enunciado dá uma densidade conjunta de
e pede:
– (a) o valor de ;
– (b) as densidades marginais de e de
;
– (c) a probabilidade .
Para resolver, vamos usar normalização para achar , depois integrar para obter marginais e, por fim, calcular a integral dupla na região dada.
– (a) o valor de
– (b) as densidades marginais de
– (c) a probabilidade
Para resolver, vamos usar normalização para achar
Passo 2
Para achar
, impomos
Logo
No interno,
Então
logo
Passo 3
A densidade marginal de
é
A densidade marginal de
é
Para esta integral, usamos
e
.
Logo, com ,
Logo, com
Passo 4
Para
, calculamos
No interno,
portanto
Avaliamo esta integral por partes (ou pela forma fechada de
), obtendo
Resposta
(a)
.
(b)
(b)
(c)