Exercício 5.5 - Duas chaves inglesa sāo utilizadas para apertar um tubo. Se o tubo é feito de um material que possui uma tensāo admissivel de
, determine a máxima força
que pode ser aplicada em cada chave. O tubo CBA possui diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 20 mm . [Resposta: 308 N ]
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar a máxima força
que pode ser aplicada em cada chave, sabendo que a tensão admissível por cisalhamento no material é .
Informações fornecidas (peguei estes valores da figura):
- Diâmetro externo do tubo:
. - Diâmetro interno do tubo:
. - Cada chave aplica a força
numa alavanca a do plano médio (ou seja, as forças estão separadas por ). - As forças são iguais e opostas (uma para cima e outra para baixo), gerando um momento torsor (torque) no tubo.
O objetivo é relacionar o torque produzido por
com a tensão de cisalhamento máxima no tubo e impor
para obter
.
Passo 2
Princípio físico e fórmulas que vamos usar:
- Um par de forças iguais e opostas separadas por uma distância gera um torque (momento torsor)
no eixo do tubo. Se a distância entre as forças é , então . - Para um eixo circular o esforço cortante máximo devido a um torque
é dado por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (Pa), -
é o torque aplicado (N m), -
é o raio externo do tubo (m), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (m ). - Para um tubo circular (seção anelar) o momento polar de inércia vale
onde
e
são os diâmetros externo e interno (em metros). Explicação curta:
mede a resistência geométrica do perfil à torção; quanto maior
, menor é a tensão para um dado torque.
Passo 3
Determinar o torque produzido pelas duas chaves:
- As forças
estão separadas por . - Isso forma um par (couple) de magnitude
. Portanto o torque aplicado ao tubo é
(Outra forma de ver: cada força tem braço de
em relação ao plano médio; as duas forças contribuem com
.)
Passo 4
Converter dimensões e calcular
e
:
- Converter diâmetros para metros:
- Calcular
e :
- Diferença:
- Calcular
: - Raio externo:
Passo 5
Impor a condição de tensão admissível e resolver para
:
- A condição de segurança é
. Igualando para achar o limite: - Substituindo números (usar
): Calcule passo a passo:
Passo 6
Encontrar
a partir de
:
- Lembrando que
, então - Substituindo
: - Arredondando para três algarismos significativos:
Parabéns — chegamos à resposta: cada chave pode aplicar, no máximo, cerca de
sem exceder a tensão admissível.