Exercício 5.5 - Duas chaves inglesa sāo utilizadas para apertar um tubo. Se o tubo é feito de um material que possui uma tensāo admissivel de \tau_{\text {adm }}=85 \mathrm{MPa}, determine a máxima força \mathbf{P} que pode ser aplicada em cada chave. O tubo CBA possui diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 20 mm . [Resposta: 308 N ]

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a máxima força P que pode ser aplicada em cada chave, sabendo que a tensão admissível por cisalhamento no material é \tau_{\text{adm}}=85\\ \mathrm{MPa}.
Informações fornecidas (peguei estes valores da figura):
  • Diâmetro externo do tubo: D_o=25\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro interno do tubo: D_i=20\\ \mathrm{mm}.
  • Cada chave aplica a força P numa alavanca a 250\\ \mathrm{mm} do plano médio (ou seja, as forças estão separadas por 2\times250\\ \mathrm{mm}=500\\ \mathrm{mm}).
  • As forças são iguais e opostas (uma para cima e outra para baixo), gerando um momento torsor (torque) no tubo.
O objetivo é relacionar o torque produzido por P com a tensão de cisalhamento máxima no tubo e impor \tau_{\max} \le \tau_{\text{adm}} para obter P_{\max}.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar:
  • Um par de forças iguais e opostas separadas por uma distância gera um torque (momento torsor) T no eixo do tubo. Se a distância entre as forças é L, então T = P\cdot L.
  • Para um eixo circular o esforço cortante máximo devido a um torque T é dado por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (Pa),
  • T é o torque aplicado (N \cdotm),
  • c é o raio externo do tubo (m),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (m ^4).
  • Para um tubo circular (seção anelar) o momento polar de inércia vale
J=\frac{\pi}{32}\left(D_o^4-D_i^4\right),
onde D_o e D_i são os diâmetros externo e interno (em metros). Explicação curta: J mede a resistência geométrica do perfil à torção; quanto maior J, menor é a tensão para um dado torque.

Passo 3

Determinar o torque produzido pelas duas chaves:
  • As forças P estão separadas por L=2\times250\\ \mathrm{mm}=500\\ \mathrm{mm}=0,5\\ \mathrm{m}.
  • Isso forma um par (couple) de magnitude P\cdot L. Portanto o torque aplicado ao tubo é
T = P\cdot 0,5\\ \mathrm{m}.
(Outra forma de ver: cada força tem braço de 0,25\\ \mathrm{m} em relação ao plano médio; as duas forças contribuem com P\cdot0,25+P\cdot0,25=0,5P.)

Passo 4

Converter dimensões e calcular J e c:
  • Converter diâmetros para metros: D_o=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m},\qquad D_i=20\\ \mathrm{mm}=0,020\\ \mathrm{m}.
  • Calcular D_o^4 e D_i^4: D_o^4=(0,025)^4=3{,}90625\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4,
D_i^4=(0,020)^4=1{,}60000\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
  • Diferença: D_o^4-D_i^4=2{,}30625\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
  • Calcular J: J=\frac{\pi}{32}\left(D_o^4-D_i^4\right) =\frac{\pi}{32}\cdot 2{,}30625\times10^{-7} \approx 2{,}264\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^4.
  • Raio externo: c=\frac{D_o}{2}=0,0125\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Impor a condição de tensão admissível e resolver para T:
  • A condição de segurança é \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}. Igualando para achar o limite: \tau_{\text{adm}}=\frac{T\,c}{J}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
  • Substituindo números (usar \tau_{\text{adm}}=85\\ \mathrm{MPa}=85\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}): T=\frac{85\times10^{6}\cdot 2{,}264\times10^{-8}}{0,0125}.Calcule passo a passo: \frac{2{,}264\times10^{-8}}{0,0125}=1{,}8112\times10^{-6},
T=85\times10^{6}\times 1{,}8112\times10^{-6}=153{,}95\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 153{,}95\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Encontrar P_{\max} a partir de T:
  • Lembrando que T=0,5\,P, então P=\frac{T}{0,5}=2T.
  • Substituindo T: P=2\times 153{,}95\\ \mathrm{N\cdot m}=307{,}9\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando para três algarismos significativos: P_{\max}\approx 308\\ \mathrm{N}.
Parabéns — chegamos à resposta: cada chave pode aplicar, no máximo, cerca de 308\\ \mathrm{N} sem exceder a tensão admissível.

Resposta

P_{\max}=308\\ \mathrm{N}

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