Exercício 10: Um objeto se move segundo a curva no espaço:
\vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right)
a) Calcule v(t) e a(t).
b) Encontre o vetor tangente unitário \mathrm{T}(\mathrm{t}).
c) Determine o vetor normal unitário N(t).
d) Calcule a curvatura \kappa(t).
e) Interprete geometricamente o movimento no ponto \mathrm{t}=1.
Passo 1
O enunciado dá a curva no espaço
\vec r(t) = \bigl(t,\,t^2,\,t^3\bigr)
e pede
– (a) a velocidade \vec v(t) e a aceleração \vec a(t),
– (b) o vetor tangente unitário T(t),
– (c) o vetor normal unitário N(t),
– (d) a curvatura \kappa(t),
– (e) interpretação geométrica em t=1.
Para isso vamos usar derivadas de vetores, a definição de T e N, e a fórmula da curvatura em termos de \vec v e \vec a.
Passo 2
Calcular \vec v(t)=\vec r\,'(t) e \vec a(t)=\vec r\,''(t).
Derivando componente a componente,
Geometricamente, em (1,1,1) a partícula segue na direção T(1) e se desvia em direção ao plano normal apontado por N(1), com curvatura \kappa(1) positiva, traçando parte do “cúbico torcido” típico de \vec r(t).
Resposta
(a) \vec v(t)=(1,2t,3t^2), \vec a(t)=(0,2,6t).
(b) T(t)=\dfrac{(1,2t,3t^2)}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}.
(c) N(t)=\dfrac{(0,2,6t)-\frac{4t+18t^3}{1+4t^2+9t^4}(1,2t,3t^2)}{\bigl\|\,(0,2,6t)-\frac{4t+18t^3}{1+4t^2+9t^4}(1,2t,3t^2)\bigr\|}.
(d) \displaystyle \kappa(t)=\frac{2\sqrt{9t^4+9t^2+1}}{\bigl(1+4t^2+9t^4\bigr)^{3/2}}.
(e) Em t=1, \vec r(1)=(1,1,1), \;T(1)=(1,2,3)/\sqrt{14},\;N(1)=(-11,-8,9)/\sqrt{266},\;\kappa(1)=\sqrt{19}/(7\sqrt{14}). O movimento segue a “curva cúbica torcida”, com desvio na direção normal dada por N(1).