Exercício 10: Um objeto se move segundo a curva no espaço:
\vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right)
a) Calcule v(t) e a(t).
b) Encontre o vetor tangente unitário \mathrm{T}(\mathrm{t}).
c) Determine o vetor normal unitário N(t).
d) Calcule a curvatura \kappa(t).
e) Interprete geometricamente o movimento no ponto \mathrm{t}=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva no espaço
\vec r(t) = \bigl(t,\,t^2,\,t^3\bigr)
e pede
– (a) a velocidade \vec v(t) e a aceleração \vec a(t),
– (b) o vetor tangente unitário T(t),
– (c) o vetor normal unitário N(t),
– (d) a curvatura \kappa(t),
– (e) interpretação geométrica em t=1.
Para isso vamos usar derivadas de vetores, a definição de T e N, e a fórmula da curvatura em termos de \vec v e \vec a.

Passo 2

Calcular \vec v(t)=\vec r\,'(t) e \vec a(t)=\vec r\,''(t).
Derivando componente a componente,
\vec v(t)=\bigl(1,\,2t,\,3t^2\bigr), \qquad \vec a(t)=\bigl(0,\,2,\,6t\bigr).

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t)=\frac{\vec v(t)}{\|\vec v(t)\|}.
Primeiro a norma
\|\vec v(t)\|=\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2} =\sqrt{1+4t^2+9t^4}.
Logo
T(t) =\frac{\bigl(1,\,2t,\,3t^2\bigr)} {\sqrt{1+4t^2+9t^4}}.

Passo 4

Para o vetor normal unitário usamos
N(t) =\frac{\vec a(t)-\displaystyle\frac{\vec v(t)\cdot\vec a(t)}{\|\vec v(t)\|^2}\,\vec v(t)} {\bigl\|\vec a(t)-\displaystyle\frac{\vec v(t)\cdot\vec a(t)}{\|\vec v(t)\|^2}\,\vec v(t)\bigr\|}\,.
Aqui \vec v\cdot\vec a=4t+18t^3 e \|\vec v\|^2=1+4t^2+9t^4,
então
N(t) =\frac{ (0,2,6t) -\frac{4t+18t^3}{1+4t^2+9t^4}\,(1,2t,3t^2) } {\Bigl\|\,(0,2,6t) -\frac{4t+18t^3}{1+4t^2+9t^4}\,(1,2t,3t^2)\Bigr\|}.

Passo 5

A curvatura pode ser obtida por
\kappa(t) =\frac{\|\vec v(t)\times\vec a(t)\|}{\|\vec v(t)\|^3}.
Calculando o produto vetorial \vec v\times\vec a=(6t^2,\,-6t,\,2),
logo
\|\vec v\times\vec a\| =2\sqrt{9t^4+9t^2+1}, \quad \|\vec v\|^3=(1+4t^2+9t^4)^{3/2}.
Portanto
\boxed{\kappa(t) =\frac{2\sqrt{9t^4+9t^2+1}}{\bigl(1+4t^2+9t^4\bigr)^{3/2}}.}

Passo 6

Em t=1 temos \vec r(1)=(1,1,1), \vec v(1)=(1,2,3), \vec a(1)=(0,2,6).
O tangente unitário
T(1)=\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}},
o normal unitário fica
a_N=\vec a(1)-\frac{22}{14}\,(1,2,3)=\Bigl(-\tfrac{11}{7},-\tfrac{8}{7},\tfrac{9}{7}\Bigr), \quad N(1)=\frac{(-11, -8, 9)}{\sqrt{266}},
e a curvatura
\kappa(1)=\frac{2\sqrt{19}}{14^{3/2}} =\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.
Geometricamente, em (1,1,1) a partícula segue na direção T(1) e se desvia em direção ao plano normal apontado por N(1), com curvatura \kappa(1) positiva, traçando parte do “cúbico torcido” típico de \vec r(t).

Resposta

(a) \vec v(t)=(1,2t,3t^2), \vec a(t)=(0,2,6t).
(b) T(t)=\dfrac{(1,2t,3t^2)}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}.
(c) N(t)=\dfrac{(0,2,6t)-\frac{4t+18t^3}{1+4t^2+9t^4}(1,2t,3t^2)}{\bigl\|\,(0,2,6t)-\frac{4t+18t^3}{1+4t^2+9t^4}(1,2t,3t^2)\bigr\|}.
(d) \displaystyle \kappa(t)=\frac{2\sqrt{9t^4+9t^2+1}}{\bigl(1+4t^2+9t^4\bigr)^{3/2}}.
(e) Em t=1, \vec r(1)=(1,1,1), \;T(1)=(1,2,3)/\sqrt{14},\;N(1)=(-11,-8,9)/\sqrt{266},\;\kappa(1)=\sqrt{19}/(7\sqrt{14}). O movimento segue a “curva cúbica torcida”, com desvio na direção normal dada por N(1).

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